4.7 Caractérisation des corps de dimension cohomologique séparable ≤ 2
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E est géométriquement connexe, l’extension k 1 est disjointe de k. On construit k 2
de la même façon à partir de k 1 , d’où une tour de corps k ⊂ k 1 ⊂ k 2 ⊂ . . . On
pose K = lim
− →n
k n . Alors l’extension K est disjointe de k. Soit T un K-tore et E
un T -torseur. Alors il existe un entier n, un k n -tore T n et un T n -torseur E n tels que
(T , E) = (T n , E n ) ⊗ k n K. Comme E n (k(E n )) = ∅, il suit que E(K) = ∅ et E est
donc un K-torseur trivial. Ainsi H 1 (K, T ) = 0 et la Proposition 4.6.2 permet de
conclure que scd l (K) ≤ 1 pour tout premier l, d’où au final scd(K) ≤ 1.
4.7 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 2
Le résultat suivant essentiellement dû à Suslin est le point de départ de l’étude de la
conjecture II.
Théorème 4.7.1 Soit l un nombre premier. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i) scd l (k) ≤ 2;
(ii) Pour toute extension finie séparable de corps L/k et pour toute L-algèbre
simple centrale B d’indice divisant l, on a Nrd(B × ) = L × .
(iii) Pour toute extension finie séparable de corps L/k et pour toute L-algèbre
simple centrale B d’indice l-primaire, on a Nrd(B × ) = L × .
(iii’) Pour toute extension finie séparable de corps L/k et pour toute L-algèbre
simple centrale B et tout entier n ≥ 1, on a Nrd(B × ) . L ×l n = L × .
(iv) Pour toute extension finie séparable de corps L/k, pour tout L-groupe fini de
type multiplicatif μ, pour toute classe γ ∈ H 2
fppf (L, μ){l} et tout entier n ≥ 1,
on a N
s´ ep
γ (L) = L × .
(iv’) Pour toute extension finie séparable de corps L/k, pour tout L-groupe fini de
type multiplicatif μ, pour toute classe γ ∈ H 2
fppf (L, μ) et tout entier n ≥ 1,
on a N
s´ ep
γ (L) . L ×l n = L × .
(v) Pour toute extension finie séparable de corps L/k, pour tout L-tore T et toute
classe γ ∈ H 1 (L, T ){l}, on a N
s´ ep
γ (L) = L × .
(v’) Pour toute extension finie séparable de corps L/k, pour tout L-tore T et toute
classe γ ∈ H 1 (L, T ), on a N
s´ ep
γ (L) . L ×l n = L × .
En (iv) et (v), on a noté N
s´ ep
γ
= N
s´ ep
D γ
où la fonction de détermination D γ est
définie respectivement en 4.1.4.(c) et (b).
Le théorème original de Suslin est le cas l = p pour les trois premières
équivalences [169, 24.8], c’est une conséquence du Théorème 4.2.2; le cas l = p est
analogue à partir de sa généralisation 4.4.1, voir [76, th. 7]. Par passage à la limite,
dans les assertions (ii), (iii), (v) et (vi) on peut enlever l’hypothèse de finitude pour
[L : k].