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4 Dimension cohomologique séparable
de k-faisceaux plats 1 → μ l → G m
×l
− → G m → 1 induit un isomorphisme
H 2
fppf (k, μ l )
∼
−→ l Br(k). Par hypothèse, on l Br(k)
∼
←− H 2
l (k) = 0, d’où
H 2
fppf (k, μ l ) = 0.
On passe au cas général. Soit K/k l’extension galoisienne minimale déployant μ.
Notons Γ = G al(K/k) son groupe de Galois et par k ⊂ K le sous-corps des points
fixes d’un l-sous-groupe de Sylow de Γ . On dispose d’une corestriction Cores k
k :
H 2
fppf (k , μ) → H 2
fppf (k, μ) si bien que [k : k] étant premier à l, la restriction
H 2
fppf (k, μ) → H 2
fppf (k , μ) est injective. Par ailleurs, la Remarque 4.5.2.(a) indique
que scd l (k ) ≤ scd l (k), il est donc loisible de supposer que Γ est un l-groupe fini.
Alors le Γ -module μ(L) admet une suite de composition à quotients Z/lZ [159,
I.4.1, prop. 20] et par dualité de Cartier μ admet une suite de composition à quotients
μ l . Or H 2
fppf (k, μ l ) = 0 suivant le premier cas traité. On conclut par dévissage que
H 2
fppf (k, μ) = 0.
(ii) ⇒ (iii) : Soit T un k-tore et soit L/k l’extension galoisienne minimale
le déployant. On note d = l r m le degré de [L : k] où (m, l) = 1. On considère
la suite exacte de k-groupes multiplicatifs 1 → l r T × m T → T
×d
−→ T → 1.
La flèche T
×d
−→ T factorise par le tore quasi-trivial R L/k (T L ) ∼ = R L/k (G m ) s
où s désigne le rang de T . Comme H 1 (k, R L/k (G m )) ∼ = H 1 (L, G m ) = 0
d’après le théorème 90 de Hilbert, il suit que d.H 1 (k, T ) = 0. Par suite la suite
exacte longue de cohomologie plate associée à la suite précédente donne lieu à
une injection H 1 (k, T ) → H 2
fppf (k, l r T ) × H 2
fppf (k, m T ). On en tire une injection
H 1 (k, T ){l} H 2
fppf (k, l r T ). Or l r T est un k-groupe fini de type multiplicatif lprimaire, donc H 2
fppf (k, l r T ) = 0. On conclut que H 1 (k, T ){l} = 0.
(iii) ⇒ (i) : Soit L une extension de corps séparable de k. Nous allons montrer
la trivialité de la partie l-primaire du groupe Br(L) en utilisant l’isomorphisme
de Shapiro Br(L) ∼ = H 2 (k, R L/k (G m )). Soit A une L-algèbre simple centrale de
période l r . Alors il existe une extension de corps L /L qui est finie, séparable,
de degré l s et qui déploie A [86, 4.5.4]. On considère la suite exacte de k-tores
1 → R L/k (G m ) → R L /k (G m ) → T → 1. Vu que H 1
k, R L /k (G m )
= 0, la
suite précédente induit une suite exacte
0 → H
1 (k, T ) → Br(L) → Br(L
).
On a l s H 1 (k, T ) = 0, donc H 1 (k, T ){l} = H 1 (k, T ). L’hypothèse implique alors
que ker(Br(L) → Br(L )) = 0. Ainsi [A] = 0 et on conclut que H 2
l (L) = 0. Il
résulte que scd l (k) ≤ 1.
Une application est la suivante.
Corollaire 4.6.3 Il existe une extension K/k disjointe de k telle que scd(K) ≤ 1.
Démonstration Il s’agit d’une technique de « compositum » classique. On note
k 1 le compositum des corps de fonctions k(E) où (T , E) parcourt les couples de
k-variétés tels que T est un k-tore et E est un T -torseur. Comme une telle variété
4 Dimension cohomologique séparable
de k-faisceaux plats 1 → μ l → G m
×l
− → G m → 1 induit un isomorphisme
H 2
fppf (k, μ l )
∼
−→ l Br(k). Par hypothèse, on l Br(k)
∼
←− H 2
l (k) = 0, d’où
H 2
fppf (k, μ l ) = 0.
On passe au cas général. Soit K/k l’extension galoisienne minimale déployant μ.
Notons Γ = G al(K/k) son groupe de Galois et par k ⊂ K le sous-corps des points
fixes d’un l-sous-groupe de Sylow de Γ . On dispose d’une corestriction Cores k
k :
H 2
fppf (k , μ) → H 2
fppf (k, μ) si bien que [k : k] étant premier à l, la restriction
H 2
fppf (k, μ) → H 2
fppf (k , μ) est injective. Par ailleurs, la Remarque 4.5.2.(a) indique
que scd l (k ) ≤ scd l (k), il est donc loisible de supposer que Γ est un l-groupe fini.
Alors le Γ -module μ(L) admet une suite de composition à quotients Z/lZ [159,
I.4.1, prop. 20] et par dualité de Cartier μ admet une suite de composition à quotients
μ l . Or H 2
fppf (k, μ l ) = 0 suivant le premier cas traité. On conclut par dévissage que
H 2
fppf (k, μ) = 0.
(ii) ⇒ (iii) : Soit T un k-tore et soit L/k l’extension galoisienne minimale
le déployant. On note d = l r m le degré de [L : k] où (m, l) = 1. On considère
la suite exacte de k-groupes multiplicatifs 1 → l r T × m T → T
×d
−→ T → 1.
La flèche T
×d
−→ T factorise par le tore quasi-trivial R L/k (T L ) ∼ = R L/k (G m ) s
où s désigne le rang de T . Comme H 1 (k, R L/k (G m )) ∼ = H 1 (L, G m ) = 0
d’après le théorème 90 de Hilbert, il suit que d.H 1 (k, T ) = 0. Par suite la suite
exacte longue de cohomologie plate associée à la suite précédente donne lieu à
une injection H 1 (k, T ) → H 2
fppf (k, l r T ) × H 2
fppf (k, m T ). On en tire une injection
H 1 (k, T ){l} H 2
fppf (k, l r T ). Or l r T est un k-groupe fini de type multiplicatif lprimaire, donc H 2
fppf (k, l r T ) = 0. On conclut que H 1 (k, T ){l} = 0.
(iii) ⇒ (i) : Soit L une extension de corps séparable de k. Nous allons montrer
la trivialité de la partie l-primaire du groupe Br(L) en utilisant l’isomorphisme
de Shapiro Br(L) ∼ = H 2 (k, R L/k (G m )). Soit A une L-algèbre simple centrale de
période l r . Alors il existe une extension de corps L /L qui est finie, séparable,
de degré l s et qui déploie A [86, 4.5.4]. On considère la suite exacte de k-tores
1 → R L/k (G m ) → R L /k (G m ) → T → 1. Vu que H 1
k, R L /k (G m )
= 0, la
suite précédente induit une suite exacte
0 → H
1 (k, T ) → Br(L) → Br(L
).
On a l s H 1 (k, T ) = 0, donc H 1 (k, T ){l} = H 1 (k, T ). L’hypothèse implique alors
que ker(Br(L) → Br(L )) = 0. Ainsi [A] = 0 et on conclut que H 2
l (L) = 0. Il
résulte que scd l (k) ≤ 1.
Une application est la suivante.
Corollaire 4.6.3 Il existe une extension K/k disjointe de k telle que scd(K) ≤ 1.
Démonstration Il s’agit d’une technique de « compositum » classique. On note
k 1 le compositum des corps de fonctions k(E) où (T , E) parcourt les couples de
k-variétés tels que T est un k-tore et E est un T -torseur. Comme une telle variété