4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique séparable ≤ 1
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Proposition 4.6.1 Soit l un nombre premier. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i) scd l (k) ≤ 1;
(ii) Pour toute extension finie de corps séparable L/k et toute L-algèbre étale
cyclique E/L de degré l, on a N E/L (E × ) = L × ;
(ii’) Pour toute extension finie de corps séparable L/k, pour toute algèbre étale
E/L et pour tout entier n ≥ 1, on a N E/L (E × ) . L ×l n = L × .
Par passage à la limite, l’assertion (ii) (resp (ii )) est équivalente à la même
assertion sans hypothèse de finitude sur [L : k].
Démonstration (ii ) ⇒ (ii): Étant donné E/L comme en (ii), on a L × =
L ×l . N E/L (E × ). Or N E/L (L × ) = L ×l , d’où L × = N E/L (L × ).
(ii) ⇒ (ii ): Étant donné E/L comme en (ii), on note X = Spec(E) la
L-variété sous-jacente. D’après le Lemme 4.1.2, on a N E/L (L × ) = N X (L) et
le Lemme 4.1.7.(1) indique qu’il suffit de montrer que N X (L (l) ) = (L (l) ) × ou
autrement dit que la norme N E⊗ L L (l) /L (l) est surjective. On décompose E ⊗ L L (l) =
E 1 × · · · × E r où E i est une extension séparable finie de corps de L (l) . Le
Lemme 1.1.1 indique que chaque E i /L (l) est une tour d’extensions cycliques de
degré l et par composition des normes, l’hypothèse (ii) implique la surjectivité de
N E i /L (l) . On conclut que N E⊗ L L (l) /L (l) est surjective.
Si l = p, l’équivalence (i) ⇐⇒ (ii) se trouve en [86, 6.18]. On se place dans le
cas l = p.
(i) ⇒ (ii): Soit [a, b) une p-algèbre cyclique de degré p avec a ∈ k et b ∈
k × . On note k a = k[t]/(t p − t − a) la Z/pZ-algèbre galoisienne associé à a.
Par hypothèse, on a b ∈ N k a /k (k ×
a ), donc [a, b) est triviale [86, 4.7.4]. Or d’après
Teichmüller, le groupe p Br(k) est engendré par les classes des p-algèbres cycliques
de degré p [86, th. 9.1.4], donc H 2
p (k)
∼
−→ p Br(k) = 0. De même, H 2
p (k ) = 0
pour toute extension de corps séparable k /k, donc scd p (k) ≤ 1.
(ii) ⇒ (i): Soit [a, b) une p-algèbre cyclique de degré p avec a ∈ k et b ∈
k × . Alors [a, b) est déployée donc b ∈ N k a /k (k ×
a ). Par suite, la norme N k a /k est
surjective. De même pour toute extension finie de corps séparable L/k et pour toute
L-algèbre étale cyclique E/L de degré l, on a N E/L (E × ) = L × .
Une seconde caractérisation se formule avec les tores algébriques et les groupes
de type multiplicatif.
Proposition 4.6.2 Soit l un nombre premier. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i) scd l (k) ≤ 1;
(ii) Pour tout k-groupe fini multiplicatif l-primaire μ, on a H 2
fppf (k, μ) = 0;
(iii) Pour tout k-tore T , on a H 1 (k, T ){l} = 0.
Démonstration (i) ⇒ (ii) : Commençons par le cas μ = μ l . Dans ce cas, vu
que H 1
fppf (k, G m ) = 1 (version plate du théorème 90 de Hilbert), la suite exacte
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Proposition 4.6.1 Soit l un nombre premier. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i) scd l (k) ≤ 1;
(ii) Pour toute extension finie de corps séparable L/k et toute L-algèbre étale
cyclique E/L de degré l, on a N E/L (E × ) = L × ;
(ii’) Pour toute extension finie de corps séparable L/k, pour toute algèbre étale
E/L et pour tout entier n ≥ 1, on a N E/L (E × ) . L ×l n = L × .
Par passage à la limite, l’assertion (ii) (resp (ii )) est équivalente à la même
assertion sans hypothèse de finitude sur [L : k].
Démonstration (ii ) ⇒ (ii): Étant donné E/L comme en (ii), on a L × =
L ×l . N E/L (E × ). Or N E/L (L × ) = L ×l , d’où L × = N E/L (L × ).
(ii) ⇒ (ii ): Étant donné E/L comme en (ii), on note X = Spec(E) la
L-variété sous-jacente. D’après le Lemme 4.1.2, on a N E/L (L × ) = N X (L) et
le Lemme 4.1.7.(1) indique qu’il suffit de montrer que N X (L (l) ) = (L (l) ) × ou
autrement dit que la norme N E⊗ L L (l) /L (l) est surjective. On décompose E ⊗ L L (l) =
E 1 × · · · × E r où E i est une extension séparable finie de corps de L (l) . Le
Lemme 1.1.1 indique que chaque E i /L (l) est une tour d’extensions cycliques de
degré l et par composition des normes, l’hypothèse (ii) implique la surjectivité de
N E i /L (l) . On conclut que N E⊗ L L (l) /L (l) est surjective.
Si l = p, l’équivalence (i) ⇐⇒ (ii) se trouve en [86, 6.18]. On se place dans le
cas l = p.
(i) ⇒ (ii): Soit [a, b) une p-algèbre cyclique de degré p avec a ∈ k et b ∈
k × . On note k a = k[t]/(t p − t − a) la Z/pZ-algèbre galoisienne associé à a.
Par hypothèse, on a b ∈ N k a /k (k ×
a ), donc [a, b) est triviale [86, 4.7.4]. Or d’après
Teichmüller, le groupe p Br(k) est engendré par les classes des p-algèbres cycliques
de degré p [86, th. 9.1.4], donc H 2
p (k)
∼
−→ p Br(k) = 0. De même, H 2
p (k ) = 0
pour toute extension de corps séparable k /k, donc scd p (k) ≤ 1.
(ii) ⇒ (i): Soit [a, b) une p-algèbre cyclique de degré p avec a ∈ k et b ∈
k × . Alors [a, b) est déployée donc b ∈ N k a /k (k ×
a ). Par suite, la norme N k a /k est
surjective. De même pour toute extension finie de corps séparable L/k et pour toute
L-algèbre étale cyclique E/L de degré l, on a N E/L (E × ) = L × .
Une seconde caractérisation se formule avec les tores algébriques et les groupes
de type multiplicatif.
Proposition 4.6.2 Soit l un nombre premier. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
(i) scd l (k) ≤ 1;
(ii) Pour tout k-groupe fini multiplicatif l-primaire μ, on a H 2
fppf (k, μ) = 0;
(iii) Pour tout k-tore T , on a H 1 (k, T ){l} = 0.
Démonstration (i) ⇒ (ii) : Commençons par le cas μ = μ l . Dans ce cas, vu
que H 1
fppf (k, G m ) = 1 (version plate du théorème 90 de Hilbert), la suite exacte