66
4 Dimension cohomologique séparable
(a) La Remarque précédente (b) entraîne alors que scd p (k) ≤ r + 1.
(b) Si K est un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel k,
alors H r+3
p (K ) = 0 pour toute extension finie K /K (Kato [109, th. 1]). En
particulier, on a scd p (K) ≤ r + 2.
Lemme 4.5.4 Soit l un nombre premier (non nécessairement inversible dans k).
(1) Soit M un module galoisien fini l-primaire. Alors pour tout entier q ≥ 0, pour
toute extension finie séparable de corps k /k, la restriction H q (k , M) →
H q
k ⊗ k k (l) , M
est injective. En particulier, l’application H
q+1
l n (k ) →
H
q+1
l n
k ⊗ k k (l)
est injective pour tout q ≥ 0 et pour tout n ≥ 1.
(2) Soit m un nombre premier. Alors
scd m
k
(l)
=
0 si l = m,
scd l (k) si l = m.
Démonstration
(1) Si E/k une extension finie séparable de E de degré premier à l, alors la
restriction H q (k, M) → H q
E, M) est injective (scindée) au moyen de la
corestriction [139, §1.5]. Par passage à la limite sur les sous-extensions finies
de k (l) , il suit que la restriction H q (k, M) → H q
k (l) , M) est injective. En
appliquant ce fait au module galoisien coinduit Coind
k
k (M), on obtient la
généralisation désirée via les isomorphismes « de Shapiro » [86, 3.3.2] .
(2) Le groupe de Galois absolu de chaque extension finie séparable k de k (l) est un
pro l-groupe si bien que H 1 (k , Z/mZ) = 0 si m = l. Ainsi scd m
k (l) = 0
pour m = l.
Pour toute extension finie séparable k de k, on a l’inégalité évidente scd l (k ) ≤
scd l (k) et par passage à limite sur les sous-extensions finies de k (l) , il vient
scd l (k (l) ) ≤ scd l (k). Dans l’autre sens, soit q ≥ 0 un entier tel qu’il existe une
extension finie séparable k /k de sorte que H
q+1
l
(k ) = 0. On écrit k ⊗ k k (l) =
E 1 × · · · × E r où les E i sont des extensions finies séparables de k (l) . Alors (1)
indique que l’application H
q+1
l
(k ) →
i=1,...,r
H
q+1
l
(E i ) est injective et il existe
donc un indice i tel que H
q+1
l
(E i ) = 0. Ceci montre que scd l (k (l) ) ≥ scd l (k).
4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 1
L’énoncé suivant de caractéristique libre est une variante de la caractérisation des
corps de dimension cohomologique 1 [159, II.3.1].
4 Dimension cohomologique séparable
(a) La Remarque précédente (b) entraîne alors que scd p (k) ≤ r + 1.
(b) Si K est un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel k,
alors H r+3
p (K ) = 0 pour toute extension finie K /K (Kato [109, th. 1]). En
particulier, on a scd p (K) ≤ r + 2.
Lemme 4.5.4 Soit l un nombre premier (non nécessairement inversible dans k).
(1) Soit M un module galoisien fini l-primaire. Alors pour tout entier q ≥ 0, pour
toute extension finie séparable de corps k /k, la restriction H q (k , M) →
H q
k ⊗ k k (l) , M
est injective. En particulier, l’application H
q+1
l n (k ) →
H
q+1
l n
k ⊗ k k (l)
est injective pour tout q ≥ 0 et pour tout n ≥ 1.
(2) Soit m un nombre premier. Alors
scd m
k
(l)
=
0 si l = m,
scd l (k) si l = m.
Démonstration
(1) Si E/k une extension finie séparable de E de degré premier à l, alors la
restriction H q (k, M) → H q
E, M) est injective (scindée) au moyen de la
corestriction [139, §1.5]. Par passage à la limite sur les sous-extensions finies
de k (l) , il suit que la restriction H q (k, M) → H q
k (l) , M) est injective. En
appliquant ce fait au module galoisien coinduit Coind
k
k (M), on obtient la
généralisation désirée via les isomorphismes « de Shapiro » [86, 3.3.2] .
(2) Le groupe de Galois absolu de chaque extension finie séparable k de k (l) est un
pro l-groupe si bien que H 1 (k , Z/mZ) = 0 si m = l. Ainsi scd m
k (l) = 0
pour m = l.
Pour toute extension finie séparable k de k, on a l’inégalité évidente scd l (k ) ≤
scd l (k) et par passage à limite sur les sous-extensions finies de k (l) , il vient
scd l (k (l) ) ≤ scd l (k). Dans l’autre sens, soit q ≥ 0 un entier tel qu’il existe une
extension finie séparable k /k de sorte que H
q+1
l
(k ) = 0. On écrit k ⊗ k k (l) =
E 1 × · · · × E r où les E i sont des extensions finies séparables de k (l) . Alors (1)
indique que l’application H
q+1
l
(k ) →
i=1,...,r
H
q+1
l
(E i ) est injective et il existe
donc un indice i tel que H
q+1
l
(E i ) = 0. Ceci montre que scd l (k (l) ) ≥ scd l (k).
4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 1
L’énoncé suivant de caractéristique libre est une variante de la caractérisation des
corps de dimension cohomologique 1 [159, II.3.1].