4.5 Dimension cohomologique séparable
65
Soient a ∈ k et b ∈ k × . On note χ a ∈ H 1 (k, Z/pZ) ∼ = k/(F − id)(k) la classe
de a. Alors l’image de χ a .(b) dans p Br(k) est la classe de l’algèbre [a, b). On
note
χ a le relevé de χ a par l’isomorphisme de spécialisation H 1
´
etale
(O, Z/pZ)
∼
−→
H 1
´
etale
(k, Z/pZ). Alors i 0
k,K (χ a ) = ( χ a ) K et i 2
k,K (χ a .(b)) = ( χ a ) K ∪ (B). Or
[a, b) se relève en la O-algèbre cyclique ( χ a , B), donc on a bien la compatibilité
souhaitée.
Soit c ∈ k × tel que (c).[A] = 0 et soit c un relevé dans O. L’image par H 3
p (k) →
H 3
p (K) de (c).[A] est (c).[A K ] donc est nulle. Par application du Théorème 4.2.2
(i.e. injectivité de r A K ,p ), il vient c ∈ Nrd(A
×
K ). On écrit alors c = Nrd(p −r x) avec
x ∈ A \ pA , d’où cp r = Nrd A K (x) = Nrd A (x). Comme A est à division, on a
Nrd A (x) = Nrd A (x) = 0, donc r = 0 et c = Nrd A (x).
4.5 Dimension cohomologique séparable
Définition 4.5.1
(1) Si l est un entier premier à p, on définit la dimension cohomologique séparable
en l, notée scd l (k) par scd l (k) = cd l (k).
(2) Si p > 1, on définit la dimension cohomologique séparable en p, notée scd p (k),
par
scd p (k)
= Inf
q ∈ Z ≥0 | H
q+1
p (k
) = 0 pour toute extension finie séparable de k
.
(3) On pose scd(k) = Inf
scd l (k) | l premier
.
La caractérisation de la Proposition 4.2.1 indique que l’on aurait aussi bien pu
définir scd l (k) pour l = p par la formule
scd l (k) = Inf
q ∈ Z ≥0 | H
q+1
l
(k
) = 0 pour toute extension finie séparable de k
.
C’est cette expression que l’on utilisera le plus souvent.
Remarques 4.5.2
(a) Si k désigne une extension séparable de k, on a scd l (k ) ≤ scd l (k) pour tout
premier l, et donc aussi scd(k ) ≤ scd(k).
(b) On suppose p > 1 et k de p-rang fini r. La remarque 4.3.3 entraîne que
scd p (k) ≤ r + 1.
Exemples 4.5.3 Soit k un corps de degré de transcendance r sur un corps parfait k 0
de caractéristique p > 0.
65
Soient a ∈ k et b ∈ k × . On note χ a ∈ H 1 (k, Z/pZ) ∼ = k/(F − id)(k) la classe
de a. Alors l’image de χ a .(b) dans p Br(k) est la classe de l’algèbre [a, b). On
note
χ a le relevé de χ a par l’isomorphisme de spécialisation H 1
´
etale
(O, Z/pZ)
∼
−→
H 1
´
etale
(k, Z/pZ). Alors i 0
k,K (χ a ) = ( χ a ) K et i 2
k,K (χ a .(b)) = ( χ a ) K ∪ (B). Or
[a, b) se relève en la O-algèbre cyclique ( χ a , B), donc on a bien la compatibilité
souhaitée.
Soit c ∈ k × tel que (c).[A] = 0 et soit c un relevé dans O. L’image par H 3
p (k) →
H 3
p (K) de (c).[A] est (c).[A K ] donc est nulle. Par application du Théorème 4.2.2
(i.e. injectivité de r A K ,p ), il vient c ∈ Nrd(A
×
K ). On écrit alors c = Nrd(p −r x) avec
x ∈ A \ pA , d’où cp r = Nrd A K (x) = Nrd A (x). Comme A est à division, on a
Nrd A (x) = Nrd A (x) = 0, donc r = 0 et c = Nrd A (x).
4.5 Dimension cohomologique séparable
Définition 4.5.1
(1) Si l est un entier premier à p, on définit la dimension cohomologique séparable
en l, notée scd l (k) par scd l (k) = cd l (k).
(2) Si p > 1, on définit la dimension cohomologique séparable en p, notée scd p (k),
par
scd p (k)
= Inf
q ∈ Z ≥0 | H
q+1
p (k
) = 0 pour toute extension finie séparable de k
.
(3) On pose scd(k) = Inf
scd l (k) | l premier
.
La caractérisation de la Proposition 4.2.1 indique que l’on aurait aussi bien pu
définir scd l (k) pour l = p par la formule
scd l (k) = Inf
q ∈ Z ≥0 | H
q+1
l
(k
) = 0 pour toute extension finie séparable de k
.
C’est cette expression que l’on utilisera le plus souvent.
Remarques 4.5.2
(a) Si k désigne une extension séparable de k, on a scd l (k ) ≤ scd l (k) pour tout
premier l, et donc aussi scd(k ) ≤ scd(k).
(b) On suppose p > 1 et k de p-rang fini r. La remarque 4.3.3 entraîne que
scd p (k) ≤ r + 1.
Exemples 4.5.3 Soit k un corps de degré de transcendance r sur un corps parfait k 0
de caractéristique p > 0.