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4 Dimension cohomologique séparable
4.4 Globalisation
Si m = m p r avec (m , p) = 1, on pose
H
q+1
m (k) = H
q+1
m (k) ⊕ H
q+1
p r (k).
Si K/k désigne une extension finie de corps, ces groupes sont munis d’une
restriction Res K
k
: H
q+1
m (k) → H
q+1
m (K) et d’une corestriction Cores K
k
:
H
q+1
m (K) → H
q+1
m (k) satisfaisant Cores K
k ◦ Res K
k = ×[K : k] [109, §3.2]. De
plus, on a une structure de produit
H
q+1
m (k) × K
M
n (k) → H
q+n+1
m
(k), (α, c) → α . c
qui satisfait la formule de projection (pour les corestrictions pour les extensions
finies) dans les deux sens (ibid, lemma 1). La version à coefficients divisibles est
définie de façon analogue
H
q+1
k, Q/Z(q)
= H
q+1
k, (Q/Z)
(q)
⊕ H
q+1
p ∞ (k).
Si A désigne une algèbre simple centrale de période divisant m = m p r , on considère sa classe [A] ∈ H 2
m (k). De la même façon que dans le cas modéré, le produit
H 2
m (k) × k × → H 3
m (k) induit un morphisme r A,m : k × /Nrd(A × )
[A]∪
− −− →
H 3 (k, Z/mZ(2)). Le résultat suivant incorpore au Théorème 4.2.2 le cas de
caractéristique positive établi en [76, th. 6].
Théorème 4.4.1 On suppose que l’indice de A divise un nombre premier. Alors
r A,m : k × /Nrd(A × ) → H 3 (k, Z/mZ(2)) est injectif.
Démonstration On peut supposer que l = p. Sans perte de généralité, on peut
supposer que A est à division de degré p. On note O un anneau de Cohen de k,
c’est-à-dire un anneau complet de valuation discrète d’uniformisante p de corps
résiduel k et de corps des fractions K de caractéristique nulle [27, IX.2.3, prop. 5].
D’après Grothendieck, on sait que A se relève en une (unique) O-algèbre
d’Azumaya A de degré p [91, th. 6.1]. Selon Kato [110, th. 3], on dispose d’un
morphisme de relèvement (injectif) i 2
k,K : H 2
p (k) → H 2
p (K) et nous affirmons que
le diagramme suivant
H 2
p (k)
∼
i
p Br(k)
p Br(O)
∼
H 2
p (K)
∼
p Br(K)
commute, où on a mis en évidence l’homomorphisme de spécialisation Br(O) →
Br(k) qui est bijectif [91, cor. 6.2]. La commutativité se vérifie sur les générateurs.
4 Dimension cohomologique séparable
4.4 Globalisation
Si m = m p r avec (m , p) = 1, on pose
H
q+1
m (k) = H
q+1
m (k) ⊕ H
q+1
p r (k).
Si K/k désigne une extension finie de corps, ces groupes sont munis d’une
restriction Res K
k
: H
q+1
m (k) → H
q+1
m (K) et d’une corestriction Cores K
k
:
H
q+1
m (K) → H
q+1
m (k) satisfaisant Cores K
k ◦ Res K
k = ×[K : k] [109, §3.2]. De
plus, on a une structure de produit
H
q+1
m (k) × K
M
n (k) → H
q+n+1
m
(k), (α, c) → α . c
qui satisfait la formule de projection (pour les corestrictions pour les extensions
finies) dans les deux sens (ibid, lemma 1). La version à coefficients divisibles est
définie de façon analogue
H
q+1
k, Q/Z(q)
= H
q+1
k, (Q/Z)
(q)
⊕ H
q+1
p ∞ (k).
Si A désigne une algèbre simple centrale de période divisant m = m p r , on considère sa classe [A] ∈ H 2
m (k). De la même façon que dans le cas modéré, le produit
H 2
m (k) × k × → H 3
m (k) induit un morphisme r A,m : k × /Nrd(A × )
[A]∪
− −− →
H 3 (k, Z/mZ(2)). Le résultat suivant incorpore au Théorème 4.2.2 le cas de
caractéristique positive établi en [76, th. 6].
Théorème 4.4.1 On suppose que l’indice de A divise un nombre premier. Alors
r A,m : k × /Nrd(A × ) → H 3 (k, Z/mZ(2)) est injectif.
Démonstration On peut supposer que l = p. Sans perte de généralité, on peut
supposer que A est à division de degré p. On note O un anneau de Cohen de k,
c’est-à-dire un anneau complet de valuation discrète d’uniformisante p de corps
résiduel k et de corps des fractions K de caractéristique nulle [27, IX.2.3, prop. 5].
D’après Grothendieck, on sait que A se relève en une (unique) O-algèbre
d’Azumaya A de degré p [91, th. 6.1]. Selon Kato [110, th. 3], on dispose d’un
morphisme de relèvement (injectif) i 2
k,K : H 2
p (k) → H 2
p (K) et nous affirmons que
le diagramme suivant
H 2
p (k)
∼
i
p Br(k)
p Br(O)
∼
H 2
p (K)
∼
p Br(K)
commute, où on a mis en évidence l’homomorphisme de spécialisation Br(O) →
Br(k) qui est bijectif [91, cor. 6.2]. La commutativité se vérifie sur les générateurs.