4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato
63
Le cas n = 1 est celui le plus important en pratique et s’exprime en termes de
formes différentielles. On note Ω k le k-espace vectoriel des différentielles absolues
de k et Ω
q
k = Λ q Ω k pour tout q ≥ 0. On note d : Ω
q
k → Ω
q+1
k
l’opérateur
« différentielle extérieure » , B
q+1
k
son image (avec la convention B 0
k = 0) et Z
q
k
son noyau. L’assignation a
dx 1
x 1
∧
dx 2
x 2
· · · ∧
dx q
x q
→ a p dx 1
x 1
∧
dx 1
x 2
· · · ∧
dx q
x q
définit une
application p-linéaire F : Ω
q
k → Ω
q
k /B
q
k [86, 9.2.1].
Proposition 4.3.2 L’assignation a
db 1
b 1
∧
db 2
b 2
· · ·∧
db q
b q
→
a ⊗b 1 ⊗· · ·⊗b q
définit
une application additive u : Ω
q
k → H
q+1
p (k) et u induit un isomorphisme
Coker
Ω
q
k
F −id
− −− → Ω
q
k /B
q
k
∼
−→ H
q+1
p (k).
Démonstration L’application u, si elle existe, est définie par l’assignation. Pour
définir u, on utilise que Ω
q
k est le quotient de k ⊗ Z k × ⊗ Z · · · k × par le sous-groupe
engendré par les éléments de la forme suivante [109, lemma 5 p. 616]:
(I)
d
j =1
x j
⊗
d
j =1
x j
−
d
j =1
x j ⊗ x j
⊗ y 2 ⊗ · · · ⊗ y q pour d ≥ 0,
x 1 , . . . , x d , y 2 , . . . , y q ∈ k × satisfaisant
d
j =1
x j ∈ k × ;
(II) x ⊗ y 1 ⊗ y 2 ⊗ · · · ⊗ y q pour x ∈ k, y 1 , . . . , y q ∈ k × tels qu’il existe i < j
satisfaisant y i = y j .
Ces deux relations sont vérifiées dans le quotient Q
q
1 (k) de k ⊗ Z k × ⊗ Z · · · ⊗ Z k ×
et a fortiori dans H
q+1
p (k) d’où une application additive surjective u : Ω
q
k →
H
q+1
p (k) satisfaisant la propriété requise. Par définition de H
q+1
p (k), le groupe
ker(u) est engendré par les éléments de la forme
(A) a
da
a ∧
db 2
b 2
· · · ∧
db q
b q
pour a, b 2 , · · · , b q ∈ k × ;
(B) (a p − a)
db 1
b 1
∧
db 2
b 2
· · · ∧
db q
b q
pour a, b 1 , · · · , b q ∈ k × .
Comme B
q
k est le sous-groupe de Ω
q
k engendré par les éléments de la forme (A),
il suit que B
q
k ⊆ ker(u) et que u induit un isomorphisme Coker
Ω
q
k
F −id
− −− →
Ω
q
k /B
q
k
∼
−→ H
q+1
p (k).
Remarque 4.3.3 Si k est de p-rang fini ≤ r, alors toute famille x 1 , . . . , x r , x r+1
de k × est p-liée, d’où il suit que (dx i ) i=1,...,r+1 est une famille liée du k-espace
vectoriel Ω 1
k [26, V.16, th. 1]. Par suite Ω
r+1
k
= 0 et H r+2
p (k) = 0 d’après la
Proposition 4.3.2. Ceci entraîne par décalage que H
r+2
p n (k) = 0 pour tout n ≥ 1.
63
Le cas n = 1 est celui le plus important en pratique et s’exprime en termes de
formes différentielles. On note Ω k le k-espace vectoriel des différentielles absolues
de k et Ω
q
k = Λ q Ω k pour tout q ≥ 0. On note d : Ω
q
k → Ω
q+1
k
l’opérateur
« différentielle extérieure » , B
q+1
k
son image (avec la convention B 0
k = 0) et Z
q
k
son noyau. L’assignation a
dx 1
x 1
∧
dx 2
x 2
· · · ∧
dx q
x q
→ a p dx 1
x 1
∧
dx 1
x 2
· · · ∧
dx q
x q
définit une
application p-linéaire F : Ω
q
k → Ω
q
k /B
q
k [86, 9.2.1].
Proposition 4.3.2 L’assignation a
db 1
b 1
∧
db 2
b 2
· · ·∧
db q
b q
→
a ⊗b 1 ⊗· · ·⊗b q
définit
une application additive u : Ω
q
k → H
q+1
p (k) et u induit un isomorphisme
Coker
Ω
q
k
F −id
− −− → Ω
q
k /B
q
k
∼
−→ H
q+1
p (k).
Démonstration L’application u, si elle existe, est définie par l’assignation. Pour
définir u, on utilise que Ω
q
k est le quotient de k ⊗ Z k × ⊗ Z · · · k × par le sous-groupe
engendré par les éléments de la forme suivante [109, lemma 5 p. 616]:
(I)
d
j =1
x j
⊗
d
j =1
x j
−
d
j =1
x j ⊗ x j
⊗ y 2 ⊗ · · · ⊗ y q pour d ≥ 0,
x 1 , . . . , x d , y 2 , . . . , y q ∈ k × satisfaisant
d
j =1
x j ∈ k × ;
(II) x ⊗ y 1 ⊗ y 2 ⊗ · · · ⊗ y q pour x ∈ k, y 1 , . . . , y q ∈ k × tels qu’il existe i < j
satisfaisant y i = y j .
Ces deux relations sont vérifiées dans le quotient Q
q
1 (k) de k ⊗ Z k × ⊗ Z · · · ⊗ Z k ×
et a fortiori dans H
q+1
p (k) d’où une application additive surjective u : Ω
q
k →
H
q+1
p (k) satisfaisant la propriété requise. Par définition de H
q+1
p (k), le groupe
ker(u) est engendré par les éléments de la forme
(A) a
da
a ∧
db 2
b 2
· · · ∧
db q
b q
pour a, b 2 , · · · , b q ∈ k × ;
(B) (a p − a)
db 1
b 1
∧
db 2
b 2
· · · ∧
db q
b q
pour a, b 1 , · · · , b q ∈ k × .
Comme B
q
k est le sous-groupe de Ω
q
k engendré par les éléments de la forme (A),
il suit que B
q
k ⊆ ker(u) et que u induit un isomorphisme Coker
Ω
q
k
F −id
− −− →
Ω
q
k /B
q
k
∼
−→ H
q+1
p (k).
Remarque 4.3.3 Si k est de p-rang fini ≤ r, alors toute famille x 1 , . . . , x r , x r+1
de k × est p-liée, d’où il suit que (dx i ) i=1,...,r+1 est une famille liée du k-espace
vectoriel Ω 1
k [26, V.16, th. 1]. Par suite Ω
r+1
k
= 0 et H r+2
p (k) = 0 d’après la
Proposition 4.3.2. Ceci entraîne par décalage que H
r+2
p n (k) = 0 pour tout n ≥ 1.