62
4 Dimension cohomologique séparable
On fixe des entiers q ≥ 0 et n ≥ 1. On note W n (k) l’anneau des vecteurs
de Witt (a 0 , . . . , a n−1 ) de longueur n [97, §1.1]; pour m ≥ 1, on dispose
de l’homomorphisme de décalage (Verschiebung) V : W n (k) → W n+m (k),
(a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ) → (0, . . . , 0, a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ) et de restriction R :
W n+m (k) → W m (k), (b 0 , b 1 , . . . , b n+m−1 ) → (b 0 , b 1 , . . . , b n−1 ); on a une suite
exacte 0 → W n (k) → W n+m (k) → W m (k) → 0. On note F l’homomorphisme
W n (k) → W n (k) « relevé de Frobenius » , (a 0 , . . . , a n−1 ) → (a
p
0 , . . . , a
p
n−1 ). On
note J
q
n le sous-groupe de W n (k) ⊗ Z k × · · · ⊗ Z k × (q fois k × ) engendré par les
éléments de la forme
(i) (0, . . . , 0, a, 0, . . . 0)⊗a ⊗b 2 ⊗· · ·⊗b q pour i = 0, . . . , n−1, a, b 2 , . . . , b q ∈
k × (où il y a i zéros au début);
(ii) w ⊗ b 1 ⊗ b 2 ⊗ · · · ⊗ b q pour w ∈ W n (k) et b 1 , . . . , b q ∈ k × tels que b i = b j
pour deux indices i = j .
On pose Q
q
n (k) = W n (k) ⊗ Z k × · · · ⊗ Z k × / J
q
n . Si m ≥ 1, le morphisme de
décalage W n (k) → W n+m (k) (resp. la restriction W n+m (k) → W m (k)) induit un
homomorphisme de groupes Q
q
n (k) → Q
q
n+m (k) (resp. Q
q
n+m (k) → Q
q
m (k)) de
sorte que la suite
0 → Q
q
n (k) → Q
q
n+m (k) → Q
q
m (k) → 0
est exacte. De plus, on a les propriétés galoisiennes Q n
q (k) = H 0
k, Q n
q (k s )
et
H 1
k, Q n
q (k s )
= 0 (loc. cit., prop. 6.3). On dispose du morphisme « symbole
différentiel »
h
q
n : K
M
q (k)/p
n K
M
q (k) → Q
q
m (k), b 1 ⊗· · · ⊗b q → (1, 0, . . . , 0) ⊗ b 1 ⊗· · · ⊗b q .
De plus, le morphisme F : W n (k) → W n (k) induit un morphisme
F : Q
q
n (k) → Q
q
n (k). On pose alors
H
q+1
p n (k) = Coker
Q
q
n (k)
F −id
−−−→ Q
q
n (k)
et H
q+1
p ∞ (k)) = lim
−→
n
H
q+1
p n (k).
Par construction, on dispose d’un morphisme surjectif W n (k) ⊗ Z K
q
M (k) →
H
q+1
p n (k).
Exemples 4.3.1
(1) Si q = 0, on a H 1
p n (k) = W n (k)/(F − id)(W n (k)). Via le choix d’un
isomorphisme W n (F p ) ∼ = Z/p n Z, ce groupe est isomorphe à H 1 (k, Z/p n Z)
[139, 6.1.5]. Pour tout a ∈ W n (k), on note χ a ∈ H 1 (k, Z/p n Z) le caractère
associé.
(2) Pour q = 1, on a un isomorphisme H 2
p n (k)
∼
−→ p n Br(k), a ⊗b → (χ a , b) [109,
§3.4] où (χ a , b) désigne l’algèbre simple centrale définie dans les notations
préliminaires.
4 Dimension cohomologique séparable
On fixe des entiers q ≥ 0 et n ≥ 1. On note W n (k) l’anneau des vecteurs
de Witt (a 0 , . . . , a n−1 ) de longueur n [97, §1.1]; pour m ≥ 1, on dispose
de l’homomorphisme de décalage (Verschiebung) V : W n (k) → W n+m (k),
(a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ) → (0, . . . , 0, a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ) et de restriction R :
W n+m (k) → W m (k), (b 0 , b 1 , . . . , b n+m−1 ) → (b 0 , b 1 , . . . , b n−1 ); on a une suite
exacte 0 → W n (k) → W n+m (k) → W m (k) → 0. On note F l’homomorphisme
W n (k) → W n (k) « relevé de Frobenius » , (a 0 , . . . , a n−1 ) → (a
p
0 , . . . , a
p
n−1 ). On
note J
q
n le sous-groupe de W n (k) ⊗ Z k × · · · ⊗ Z k × (q fois k × ) engendré par les
éléments de la forme
(i) (0, . . . , 0, a, 0, . . . 0)⊗a ⊗b 2 ⊗· · ·⊗b q pour i = 0, . . . , n−1, a, b 2 , . . . , b q ∈
k × (où il y a i zéros au début);
(ii) w ⊗ b 1 ⊗ b 2 ⊗ · · · ⊗ b q pour w ∈ W n (k) et b 1 , . . . , b q ∈ k × tels que b i = b j
pour deux indices i = j .
On pose Q
q
n (k) = W n (k) ⊗ Z k × · · · ⊗ Z k × / J
q
n . Si m ≥ 1, le morphisme de
décalage W n (k) → W n+m (k) (resp. la restriction W n+m (k) → W m (k)) induit un
homomorphisme de groupes Q
q
n (k) → Q
q
n+m (k) (resp. Q
q
n+m (k) → Q
q
m (k)) de
sorte que la suite
0 → Q
q
n (k) → Q
q
n+m (k) → Q
q
m (k) → 0
est exacte. De plus, on a les propriétés galoisiennes Q n
q (k) = H 0
k, Q n
q (k s )
et
H 1
k, Q n
q (k s )
= 0 (loc. cit., prop. 6.3). On dispose du morphisme « symbole
différentiel »
h
q
n : K
M
q (k)/p
n K
M
q (k) → Q
q
m (k), b 1 ⊗· · · ⊗b q → (1, 0, . . . , 0) ⊗ b 1 ⊗· · · ⊗b q .
De plus, le morphisme F : W n (k) → W n (k) induit un morphisme
F : Q
q
n (k) → Q
q
n (k). On pose alors
H
q+1
p n (k) = Coker
Q
q
n (k)
F −id
−−−→ Q
q
n (k)
et H
q+1
p ∞ (k)) = lim
−→
n
H
q+1
p n (k).
Par construction, on dispose d’un morphisme surjectif W n (k) ⊗ Z K
q
M (k) →
H
q+1
p n (k).
Exemples 4.3.1
(1) Si q = 0, on a H 1
p n (k) = W n (k)/(F − id)(W n (k)). Via le choix d’un
isomorphisme W n (F p ) ∼ = Z/p n Z, ce groupe est isomorphe à H 1 (k, Z/p n Z)
[139, 6.1.5]. Pour tout a ∈ W n (k), on note χ a ∈ H 1 (k, Z/p n Z) le caractère
associé.
(2) Pour q = 1, on a un isomorphisme H 2
p n (k)
∼
−→ p n Br(k), a ⊗b → (χ a , b) [109,
§3.4] où (χ a , b) désigne l’algèbre simple centrale définie dans les notations
préliminaires.