4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato
61
m-torsion du groupe de Brauer de k. La caractérisation suivante est une variante de
[159, II.2.3, prop. 4].
Proposition 4.2.1 Soit l un premier inversible dans k. Alors pour tout entier q ≥ 0,
les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) cd l (k) ≤ q;
(ii) H
q+1
l
(k ) = 0 pour toute extension finie séparable k /k.
Si A désigne une k-algèbre simple centrale d’indice divisant un entier m premier
à p, on considère sa classe [A] ∈ H 2 (k, μ m ) avec les conventions de signe de
[86, §4.4]. Le cup-produit H 2 (k, μ m ) × H 1 (k, μ m ) → H 3 (k, Z/mZ(2)) induit un
morphisme r A,m : k × /k ×m [A]∪
−−−−→ H 3 (k, Z/mZ(2)).
Si L/k désigne une extension finie séparable, on dispose du diagramme commutatif
L × /L ×m [A]∪
N L/k
H 3 (L, Z/mZ(2))
Cores L/k
k × /k ×m [A]∪ H 3 (k, Z/mZ(2))
en vertu de la formule du produit [86, 3.4.10.(3)]. En particulier, si L déploie A, on
constate que r A,m
N L/k (L × ).k ×m = 0. En prenant toutes ces extensions L/k, il
vient r A,m (N
s´ ep
X (k).k ×m ) = 0 où X désigne la variété de Severi-Brauer de A. En
tenant compte de la Proposition 4.1.8, l’invariant r A,m induit un morphisme
r A,m : k
× /Nrd(A
× )
[A]∪
− −−−→ H
3 (k, Z/mZ(2)).
Par des calculs de K-théorie et de K M -cohomologie des variétés de Severi-Brauer,
Merkurjev et Suslin ont établi le fait suivant [134, th. 21.4] (ou [86, Th. 8.9.1]).
Théorème 4.2.2 On suppose que A est d’indice divisant un premier l = p. Alors
r A,m est injectif.
Remarque 4.2.3 Cet énoncé est faux si l’on autorise des indices carrés, voir [132,
§2].
4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato
Dans cette section, on suppose que p ≥ 2 et on va définir suivant Kato [109, §1.1]
des groupes H
q+1
p n (k) qui constituent un analogue des groupes précédents. On suit
ici la variante de présentation donnée par Izhboldin [98, §6].
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m-torsion du groupe de Brauer de k. La caractérisation suivante est une variante de
[159, II.2.3, prop. 4].
Proposition 4.2.1 Soit l un premier inversible dans k. Alors pour tout entier q ≥ 0,
les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) cd l (k) ≤ q;
(ii) H
q+1
l
(k ) = 0 pour toute extension finie séparable k /k.
Si A désigne une k-algèbre simple centrale d’indice divisant un entier m premier
à p, on considère sa classe [A] ∈ H 2 (k, μ m ) avec les conventions de signe de
[86, §4.4]. Le cup-produit H 2 (k, μ m ) × H 1 (k, μ m ) → H 3 (k, Z/mZ(2)) induit un
morphisme r A,m : k × /k ×m [A]∪
−−−−→ H 3 (k, Z/mZ(2)).
Si L/k désigne une extension finie séparable, on dispose du diagramme commutatif
L × /L ×m [A]∪
N L/k
H 3 (L, Z/mZ(2))
Cores L/k
k × /k ×m [A]∪ H 3 (k, Z/mZ(2))
en vertu de la formule du produit [86, 3.4.10.(3)]. En particulier, si L déploie A, on
constate que r A,m
N L/k (L × ).k ×m = 0. En prenant toutes ces extensions L/k, il
vient r A,m (N
s´ ep
X (k).k ×m ) = 0 où X désigne la variété de Severi-Brauer de A. En
tenant compte de la Proposition 4.1.8, l’invariant r A,m induit un morphisme
r A,m : k
× /Nrd(A
× )
[A]∪
− −−−→ H
3 (k, Z/mZ(2)).
Par des calculs de K-théorie et de K M -cohomologie des variétés de Severi-Brauer,
Merkurjev et Suslin ont établi le fait suivant [134, th. 21.4] (ou [86, Th. 8.9.1]).
Théorème 4.2.2 On suppose que A est d’indice divisant un premier l = p. Alors
r A,m est injectif.
Remarque 4.2.3 Cet énoncé est faux si l’on autorise des indices carrés, voir [132,
§2].
4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato
Dans cette section, on suppose que p ≥ 2 et on va définir suivant Kato [109, §1.1]
des groupes H
q+1
p n (k) qui constituent un analogue des groupes précédents. On suit
ici la variante de présentation donnée par Izhboldin [98, §6].