60
4 Dimension cohomologique séparable
Proposition 4.1.8 Soient A une algèbre simple centrale et X/k la variété de SeveriBrauer associée à A. Alors Nrd(A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Rappelons que d’après le théorème de Châtelet [86, §5.1], la variété de SeveriBrauer X satisfait la propriété suivante: pour tout corps F/k, on a X(F ) = ∅ si
et seulement si la F -algèbre simple centrale A ⊗ k F est déployée, c’est-à-dire est
isomorphe à une algèbre de matrices.
Démonstration Si A est isomorphe à une algèbre de matrices et X à un espace
projectif, les trois groupes sont k × . Cette remarque nous permet de supposer que le
corps de base k est infini.
On commence par le cas où A est à division. Pour établir l’inclusion Nrd(A × ) ⊆
N
s´ ep
X (k), on considère l’ouvert U de G = GL 1 (A) des éléments semi-simples
réguliers de G (i.e. dont le polynôme caractéristique réduit a des racines distinctes
dans k). Etant donné a ∈ A × , la k-variété aU ∩ U est k-rationnelle et admet donc
des k-points rationnels. Ainsi a = a 1 a
−1
2 avec a 1 , a 2 ∈ U(k) et on peut supposer
que a est semi-simple régulier. Alors k[a] est un sous-corps commutatif maximal
de A et déploie donc A [86, 4.5.3]. Ainsi X(k[a]) = ∅, d’où Nrd A (a) = N k[a]/k (a)
appartient à N
s´ ep
X (k).
Dans le cas général, le théorème de Wedderburn produit une décomposition
A ∼ = M r (D) où D est une k-algèbre simple centrale à division. Notant Y la
variété de Severi-Brauer de D, on a N
s´ ep
Y (k) = N
s´ ep
X (k). On utilise maintenant
le fait Nrd(D × ) = Nrd(A × ); l’inclusion Nrd(D × ) ⊆ N
s´ ep
Y (k) produit l’inclusion
Nrd(A × ) ⊆ N
s´ ep
X (k) ⊆ N X (k).
Pour l’autre sens, soit k /k une extension finie de corps déployant A. Alors il
existe une k-algèbre simple centrale B Brauer équivalente à A telle que B contienne
k et [k : k] 2 = dim k (B) [14, IV.1.12]. Comme la restriction de Nrd B à k est N k /k ,
on obtient l’inclusion N k /k
(k ) × ⊆ Nrd B (B × ) = Nrd A (A × ).
Remarque 4.1.9 Un autre exemple est celui d’une quadrique projective
X = {q = 0} pour une forme quadratique q régulière de dimension paire et
représentant 1. Alors N X (k) est le groupe des normes spinorielles de q, c’est-àdire le sous-groupe de k × engendré par les valeurs non nulles de q [48, §2].
4.2 Rappels de cohomologie galoisienne
Si m ≥ 1 désigne un entier inversible dans k, on note μ m le faisceau galoisien des
racines m-ièmes de l’unité. Si i ∈ Z ≥0 , on note Z/mZ(i) = μ ⊗i
m le produit tensoriel
i-fois.
Si m désigne un multiple de m premier à p, on a un morphisme injectif
Z/mZ(i) → Z/m Z(i) et on note (Q/Z) (i) la limite inductive des (Z/mZ)(i)
pour m parcourant les entiers premiers à p. On note H
q
m (k) = H q (k, Z/mZ(q − 1))
le groupe de cohomologie galoisienne. Pour q = 2, ce groupe est isomorphe à la
4 Dimension cohomologique séparable
Proposition 4.1.8 Soient A une algèbre simple centrale et X/k la variété de SeveriBrauer associée à A. Alors Nrd(A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Rappelons que d’après le théorème de Châtelet [86, §5.1], la variété de SeveriBrauer X satisfait la propriété suivante: pour tout corps F/k, on a X(F ) = ∅ si
et seulement si la F -algèbre simple centrale A ⊗ k F est déployée, c’est-à-dire est
isomorphe à une algèbre de matrices.
Démonstration Si A est isomorphe à une algèbre de matrices et X à un espace
projectif, les trois groupes sont k × . Cette remarque nous permet de supposer que le
corps de base k est infini.
On commence par le cas où A est à division. Pour établir l’inclusion Nrd(A × ) ⊆
N
s´ ep
X (k), on considère l’ouvert U de G = GL 1 (A) des éléments semi-simples
réguliers de G (i.e. dont le polynôme caractéristique réduit a des racines distinctes
dans k). Etant donné a ∈ A × , la k-variété aU ∩ U est k-rationnelle et admet donc
des k-points rationnels. Ainsi a = a 1 a
−1
2 avec a 1 , a 2 ∈ U(k) et on peut supposer
que a est semi-simple régulier. Alors k[a] est un sous-corps commutatif maximal
de A et déploie donc A [86, 4.5.3]. Ainsi X(k[a]) = ∅, d’où Nrd A (a) = N k[a]/k (a)
appartient à N
s´ ep
X (k).
Dans le cas général, le théorème de Wedderburn produit une décomposition
A ∼ = M r (D) où D est une k-algèbre simple centrale à division. Notant Y la
variété de Severi-Brauer de D, on a N
s´ ep
Y (k) = N
s´ ep
X (k). On utilise maintenant
le fait Nrd(D × ) = Nrd(A × ); l’inclusion Nrd(D × ) ⊆ N
s´ ep
Y (k) produit l’inclusion
Nrd(A × ) ⊆ N
s´ ep
X (k) ⊆ N X (k).
Pour l’autre sens, soit k /k une extension finie de corps déployant A. Alors il
existe une k-algèbre simple centrale B Brauer équivalente à A telle que B contienne
k et [k : k] 2 = dim k (B) [14, IV.1.12]. Comme la restriction de Nrd B à k est N k /k ,
on obtient l’inclusion N k /k
(k ) × ⊆ Nrd B (B × ) = Nrd A (A × ).
Remarque 4.1.9 Un autre exemple est celui d’une quadrique projective
X = {q = 0} pour une forme quadratique q régulière de dimension paire et
représentant 1. Alors N X (k) est le groupe des normes spinorielles de q, c’est-àdire le sous-groupe de k × engendré par les valeurs non nulles de q [48, §2].
4.2 Rappels de cohomologie galoisienne
Si m ≥ 1 désigne un entier inversible dans k, on note μ m le faisceau galoisien des
racines m-ièmes de l’unité. Si i ∈ Z ≥0 , on note Z/mZ(i) = μ ⊗i
m le produit tensoriel
i-fois.
Si m désigne un multiple de m premier à p, on a un morphisme injectif
Z/mZ(i) → Z/m Z(i) et on note (Q/Z) (i) la limite inductive des (Z/mZ)(i)
pour m parcourant les entiers premiers à p. On note H
q
m (k) = H q (k, Z/mZ(q − 1))
le groupe de cohomologie galoisienne. Pour q = 2, ce groupe est isomorphe à la