4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de Severi-Brauer
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des normes, il vient
x =
i=1,...,r
j =1,...,m j
N k i,j /k (x i,j ).
Comme les k i,j sont des extensions finies séparables de corps satisfaisant
D(k i,j ) = •, on conclut que x ∈ N
s´ ep
D (k).
(5) Par récurrence, on est ramené au cas de D 1 ∧ D 2 . En appliquant 4) à D =
D 1 ∧ D 2 et D 2 , il vient N
s´ ep
D 1 ∧D 2
(k) = k × .
On étudie maintenant la localisation en un nombre premier l; on rappelle que la
notation k (l) désigne une extension séparable maximale de degré premier à l de k
(§1.1.1).
Lemme 4.1.7 Soit D une fonction de détermination sur k et soit l un nombre
premier.
(1) Si N D
k (l) = (k (l) ) × , alors pour tout entier n ≥ 1, on a N D (k) . k ×l n = k × .
(2) Si N D
k (l) = (k (l) ) × pour tout premier l, alors N D (k) = k × .
Démonstration
(1) Soit n ≥ 1 un entier. Soit x ∈ k × . En écrivant k (l) comme la limite inductive
de ses sous-corps finis sur k, le Lemme 4.1.6.(1) montre qu’il existe une sousextension K ⊂ k (l) , séparable de degré fini sur k telle que x ∈ N
s´ ep
D (K). On écrit
x [K:k] = N K/k (x). Le lemme 4.1.6.(2) indique que x [K:k] ∈ N D (k). Comme
[K : k] est premier à l, on conclut que x ∈ N
s´ ep
D (k) . k l n .
(2) Soit x ∈ k × . En reprenant (1), on voit qu’il existe pour chaque premier l, une
extension séparable finie k l de degré premier à l telle que x ∈ N
s´ ep
D (k
×
l ). Les
degrés [k l : k] pour l parcourant l’ensemble des nombres premiers sont donc
premiers entre eux dans leur ensemble; il existe donc une relation de Bezout
1 = d 1 [k l 1 : k] + · · · + d r [k l m : k]. On écrit
x = x
d 1 [k l 1 :k]
× · · · × x
d r [k lm :k]
= N k l 1 /k (x)
d 1 × · · · × N k lm /k (x)
d m .
Pour chaque i, on a x ∈ N
s´ ep
D (k
×
l i
) donc N k l i /k (x) ∈ N
s´ ep
D (k) d’après le
Lemme 4.1.6.(2). L’expression ci-dessus permet de conclure que x ∈ N
s´ ep
D (k).
Soit A une algèbre simple centrale. On dispose de l’homomorphisme de norme
réduite Nrd : A × → k × [86, §2.6]. La théorie des déterminants non commutatifs
de Dieudonné montre que Nrd(GL n (A)) = Nrd(A × ) pour tout entier n ≥ 1 [86,
2.8.10] Ainsi si B est une algèbre simple centrale Brauer équivalente à A, on a
Nrd(A × ) = Nrd(B × ). Le groupe des normes réduites admet la caractérisation
suivante.
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des normes, il vient
x =
i=1,...,r
j =1,...,m j
N k i,j /k (x i,j ).
Comme les k i,j sont des extensions finies séparables de corps satisfaisant
D(k i,j ) = •, on conclut que x ∈ N
s´ ep
D (k).
(5) Par récurrence, on est ramené au cas de D 1 ∧ D 2 . En appliquant 4) à D =
D 1 ∧ D 2 et D 2 , il vient N
s´ ep
D 1 ∧D 2
(k) = k × .
On étudie maintenant la localisation en un nombre premier l; on rappelle que la
notation k (l) désigne une extension séparable maximale de degré premier à l de k
(§1.1.1).
Lemme 4.1.7 Soit D une fonction de détermination sur k et soit l un nombre
premier.
(1) Si N D
k (l) = (k (l) ) × , alors pour tout entier n ≥ 1, on a N D (k) . k ×l n = k × .
(2) Si N D
k (l) = (k (l) ) × pour tout premier l, alors N D (k) = k × .
Démonstration
(1) Soit n ≥ 1 un entier. Soit x ∈ k × . En écrivant k (l) comme la limite inductive
de ses sous-corps finis sur k, le Lemme 4.1.6.(1) montre qu’il existe une sousextension K ⊂ k (l) , séparable de degré fini sur k telle que x ∈ N
s´ ep
D (K). On écrit
x [K:k] = N K/k (x). Le lemme 4.1.6.(2) indique que x [K:k] ∈ N D (k). Comme
[K : k] est premier à l, on conclut que x ∈ N
s´ ep
D (k) . k l n .
(2) Soit x ∈ k × . En reprenant (1), on voit qu’il existe pour chaque premier l, une
extension séparable finie k l de degré premier à l telle que x ∈ N
s´ ep
D (k
×
l ). Les
degrés [k l : k] pour l parcourant l’ensemble des nombres premiers sont donc
premiers entre eux dans leur ensemble; il existe donc une relation de Bezout
1 = d 1 [k l 1 : k] + · · · + d r [k l m : k]. On écrit
x = x
d 1 [k l 1 :k]
× · · · × x
d r [k lm :k]
= N k l 1 /k (x)
d 1 × · · · × N k lm /k (x)
d m .
Pour chaque i, on a x ∈ N
s´ ep
D (k
×
l i
) donc N k l i /k (x) ∈ N
s´ ep
D (k) d’après le
Lemme 4.1.6.(2). L’expression ci-dessus permet de conclure que x ∈ N
s´ ep
D (k).
Soit A une algèbre simple centrale. On dispose de l’homomorphisme de norme
réduite Nrd : A × → k × [86, §2.6]. La théorie des déterminants non commutatifs
de Dieudonné montre que Nrd(GL n (A)) = Nrd(A × ) pour tout entier n ≥ 1 [86,
2.8.10] Ainsi si B est une algèbre simple centrale Brauer équivalente à A, on a
Nrd(A × ) = Nrd(B × ). Le groupe des normes réduites admet la caractérisation
suivante.