58
4 Dimension cohomologique séparable
(4) Soit E une autre fonction de détermination sur k et supposons que D ≤ E.
On suppose que N
s´ ep
E (k) = k × et que pour toute extension finie séparable L/k
satisfaisant E(L) = •, on a N
s´ ep
D (L) = L × . Alors N
s´ ep
D (k) = k × .
(5) On suppose que D = D 1 ∧ · · · ∧ D n où les D i sont des fonctions de
détermination satisfaisant N
s´ ep
D i
(L) = L × pour toute extension finie de corps
séparable L/k et pour tout i = 1, . . . , n. Alors N
s´ ep
D (k) = k × .
Démonstration
(1) Le morphisme naturel lim
− →
α∈I
N
s´ ep
D (k α ) → N
s´ ep
D (K) est injectif, montrons sa
surjectivité. Soit x ∈ N
s´ ep
D (K). Alors il existe des extensions finies de corps
séparables K 1 , . . . , K n de K et des éléments x j ∈ K
×
j tels que x =
j =1,...,n
N K j /K (x j ) et D(K j ) = • pour j = 1, . . . , n. Il existe un indice α 0 tel
que K j = K ⊗ k α 0 k j , x j ∈ 1 ⊗ k j , où k j est une extension finie séparable
de k α 0 pour j = 1, . . . , n. Vu que K j = lim
− →
α∈I
k α ⊗ k α 0 k j , la propriété de
continuité montre qu’il existe α 1 ≥ α 0 tel que D(k α 1 ⊗ k α 0 k j ) = •. Alors
x = N K 1 /K (x 1 ) . . . N K n /K (x n ) ∈ N
s´ ep
D (k α 1 ).
(2) Soit E/L une extension finie séparable de corps satisfaisant D(E) = •. Alors
E/k est séparable et N E/K (E × ) ⊆ N
s´ ep
D (k). Or on a N E/L
N E/L (E × )
=
N E/K (E × ), d’où N L/k
N E/L (E × )
⊆ N
s´ ep
D (k). En prenant toutes les
extensions finies séparables E/L satisfaisant D(E) = •, on obtient
N L/k
N
s´ ep
D (L)
⊆ N
s´ ep
D (k).
(3) On suppose qu’il existe des extensions finies séparables k 1 , . . . , k r de k telles
que D(k i ) = • pour i = 1, . . . , r et p.g.c.d([k 1 : k], . . . , [k r : k]) = 1. Il existe
alors des entiers a 1 , . . . , a r satisfaisant 1 = a 1 [k 1 : k]+a 2 [k 2 : k]+· · ·+a r [k r :
k]. Etant donné x ∈ k × , on écrit
x = x
a 1 [k 1 :k]
× x
a 2 [k 2 :k]
· · · × x
a r [k r :k]
= N k 1 /k (x)
a 1 × · · · × N k r /k (x)
a r .
Comme N k i /k (k
×
i ) est un sous-groupe de N
s´ ep
D (k) pour i = 1, . . . , n, on conclut
que x ∈ N
s´ ep
D (k).
(4) Soit E une autre fonction de détermination sur k telle que D ≤ E et satisfaisant
N
s´ ep
E (k) = k × et telle que pour toute extension finie séparable L/k satisfaisant
E(L) = •, on a N
s´ ep
D (L) = L × .
Soit x ∈ k × , comme x ∈ N
s´ ep
E (k), il existe des extensions finies séparables
k 1 , . . . , k r de k telles que E(k i ) = • pour i = 1, . . . , r et des scalaires x i ∈
k
×
i satisfaisant x = N k 1 /k (x 1 ) × · · · × N k r /k (x r ). Pour chaque i, on a x i ∈
N D (k i ) donc il existe des extensions finies séparables de corps k i,1 , . . ., k i,m i de
k i satisfaisant D(k i,j ) = • pour tout j et des scalaires x i,1 , . . . , x i,m i tels que
x i = N k i,1 /k (x i,1 ) × · · · × N k i,1 /k (x i,m i ). En utilisant la formule de composition
4 Dimension cohomologique séparable
(4) Soit E une autre fonction de détermination sur k et supposons que D ≤ E.
On suppose que N
s´ ep
E (k) = k × et que pour toute extension finie séparable L/k
satisfaisant E(L) = •, on a N
s´ ep
D (L) = L × . Alors N
s´ ep
D (k) = k × .
(5) On suppose que D = D 1 ∧ · · · ∧ D n où les D i sont des fonctions de
détermination satisfaisant N
s´ ep
D i
(L) = L × pour toute extension finie de corps
séparable L/k et pour tout i = 1, . . . , n. Alors N
s´ ep
D (k) = k × .
Démonstration
(1) Le morphisme naturel lim
− →
α∈I
N
s´ ep
D (k α ) → N
s´ ep
D (K) est injectif, montrons sa
surjectivité. Soit x ∈ N
s´ ep
D (K). Alors il existe des extensions finies de corps
séparables K 1 , . . . , K n de K et des éléments x j ∈ K
×
j tels que x =
j =1,...,n
N K j /K (x j ) et D(K j ) = • pour j = 1, . . . , n. Il existe un indice α 0 tel
que K j = K ⊗ k α 0 k j , x j ∈ 1 ⊗ k j , où k j est une extension finie séparable
de k α 0 pour j = 1, . . . , n. Vu que K j = lim
− →
α∈I
k α ⊗ k α 0 k j , la propriété de
continuité montre qu’il existe α 1 ≥ α 0 tel que D(k α 1 ⊗ k α 0 k j ) = •. Alors
x = N K 1 /K (x 1 ) . . . N K n /K (x n ) ∈ N
s´ ep
D (k α 1 ).
(2) Soit E/L une extension finie séparable de corps satisfaisant D(E) = •. Alors
E/k est séparable et N E/K (E × ) ⊆ N
s´ ep
D (k). Or on a N E/L
N E/L (E × )
=
N E/K (E × ), d’où N L/k
N E/L (E × )
⊆ N
s´ ep
D (k). En prenant toutes les
extensions finies séparables E/L satisfaisant D(E) = •, on obtient
N L/k
N
s´ ep
D (L)
⊆ N
s´ ep
D (k).
(3) On suppose qu’il existe des extensions finies séparables k 1 , . . . , k r de k telles
que D(k i ) = • pour i = 1, . . . , r et p.g.c.d([k 1 : k], . . . , [k r : k]) = 1. Il existe
alors des entiers a 1 , . . . , a r satisfaisant 1 = a 1 [k 1 : k]+a 2 [k 2 : k]+· · ·+a r [k r :
k]. Etant donné x ∈ k × , on écrit
x = x
a 1 [k 1 :k]
× x
a 2 [k 2 :k]
· · · × x
a r [k r :k]
= N k 1 /k (x)
a 1 × · · · × N k r /k (x)
a r .
Comme N k i /k (k
×
i ) est un sous-groupe de N
s´ ep
D (k) pour i = 1, . . . , n, on conclut
que x ∈ N
s´ ep
D (k).
(4) Soit E une autre fonction de détermination sur k telle que D ≤ E et satisfaisant
N
s´ ep
E (k) = k × et telle que pour toute extension finie séparable L/k satisfaisant
E(L) = •, on a N
s´ ep
D (L) = L × .
Soit x ∈ k × , comme x ∈ N
s´ ep
E (k), il existe des extensions finies séparables
k 1 , . . . , k r de k telles que E(k i ) = • pour i = 1, . . . , r et des scalaires x i ∈
k
×
i satisfaisant x = N k 1 /k (x 1 ) × · · · × N k r /k (x r ). Pour chaque i, on a x i ∈
N D (k i ) donc il existe des extensions finies séparables de corps k i,1 , . . ., k i,m i de
k i satisfaisant D(k i,j ) = • pour tout j et des scalaires x i,1 , . . . , x i,m i tels que
x i = N k i,1 /k (x i,1 ) × · · · × N k i,1 /k (x i,m i ). En utilisant la formule de composition