4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de Severi-Brauer
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Exemples 4.1.4
(a) Soient G/k un groupe algébrique affine et X un k-torseur sous G dont on note
γ ∈ H 1
fppf (k, G) la classe. Si F désigne une extension de k, on a X(F ) = ∅ si
et seulement si γ F = 1 ∈ H 1
fppf (F, G). Ainsi la fonction de détermination ne
dépend que de la classe γ . En d’autres mots, on peut associer à γ la fonction de
détermination D γ définie par D γ (F ) = • ssi γ F = 1 ∈ H 1
fppf (F, G).
(b) Plus généralement, si M est un module galoisien sur k et γ ∈ H i (k, M)
est une classe de cohomologie galoisienne (i ≥ 1), on définit la fonction de
détermination D γ par D γ (F ) = • ssi γ F = 0 ∈ H i (F, M). La condition
de continuité est satisfaite puisque la cohomologie galoisienne commute aux
limites inductives de corps [159, I.2.3, prop. 8].
(c) Si μ désigne un k-groupe algébrique de type multiplicatif, alors il existe une
suite exacte 1 → μ → T → T → où T et T sont des tores algébriques. Pour
les k-groupes lisses T et T , la cohomologie plate coïncide avec la cohomologie
galoisienne et en particulier commute aux limites inductives de corps. Par
l’argument de décalage traditionnel, il suit que la cohomologie plate de μ
commute aux limites inductives de corps. Etant donné γ ∈ H
i
fppf (k, μ) (i ≥ 1),
on peut donc associer la fonction de détermination D γ par D γ (F ) = • ssi
γ F = 0 ∈ H
i
fppf (F, μ).
Dans ce livre, nous travaillons principalement avec des groupes de normes
séparables et nous laissons au lecteur le soin de formuler le cas échéant des sorites
analogues pour les groupes de normes incluant toutes les extensions finies.
Définition 4.1.5 Soit D une fonction de détermination sur k. Le groupe de normes
séparable N
s´ ep
D (k) est le sous-groupe de k × engendré par les N k /k
(k ) ×
où k
parcourt les extensions finies de corps séparables de k telles que D(k ) = •.
Dans le cas de D X , on retrouve bien sûr que N
s´ ep
X (k) = N
s´ ep
D X
(k). De plus, si
D ≤ D sont des fonctions de détermination sur k, on a N
s´ ep
D (k) ⊆ N
s´ ep
D (k). Enfin, si
K est une extension de k, on emploie abusivement la notation N
s´ ep
D (K) = N
s´ ep
D K
(K).
Lemme 4.1.6 Soit D une fonction de détermination sur k.
(1) Soit K = lim
− →
α∈I
k α une limite inductive filtrante de k-corps. Alors
lim
− →
α∈I
N
s´ ep
D (k α ) = N
s´ ep
D (K).
(2) Soit L/k une extension finie séparable de corps. Alors N L/k
N
s´ ep
D (L)
⊆
N
s´ ep
D (k).
(3) On suppose qu’il existe des extensions finies séparables k 1 , . . . , k n de k
telles que D(k i ) = • pour i = 1, . . . , n. Alors k ×d ⊆ N
s´ ep
D (k) où d =
pgcd([k 1 : k], . . . , [k n : k]).
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Exemples 4.1.4
(a) Soient G/k un groupe algébrique affine et X un k-torseur sous G dont on note
γ ∈ H 1
fppf (k, G) la classe. Si F désigne une extension de k, on a X(F ) = ∅ si
et seulement si γ F = 1 ∈ H 1
fppf (F, G). Ainsi la fonction de détermination ne
dépend que de la classe γ . En d’autres mots, on peut associer à γ la fonction de
détermination D γ définie par D γ (F ) = • ssi γ F = 1 ∈ H 1
fppf (F, G).
(b) Plus généralement, si M est un module galoisien sur k et γ ∈ H i (k, M)
est une classe de cohomologie galoisienne (i ≥ 1), on définit la fonction de
détermination D γ par D γ (F ) = • ssi γ F = 0 ∈ H i (F, M). La condition
de continuité est satisfaite puisque la cohomologie galoisienne commute aux
limites inductives de corps [159, I.2.3, prop. 8].
(c) Si μ désigne un k-groupe algébrique de type multiplicatif, alors il existe une
suite exacte 1 → μ → T → T → où T et T sont des tores algébriques. Pour
les k-groupes lisses T et T , la cohomologie plate coïncide avec la cohomologie
galoisienne et en particulier commute aux limites inductives de corps. Par
l’argument de décalage traditionnel, il suit que la cohomologie plate de μ
commute aux limites inductives de corps. Etant donné γ ∈ H
i
fppf (k, μ) (i ≥ 1),
on peut donc associer la fonction de détermination D γ par D γ (F ) = • ssi
γ F = 0 ∈ H
i
fppf (F, μ).
Dans ce livre, nous travaillons principalement avec des groupes de normes
séparables et nous laissons au lecteur le soin de formuler le cas échéant des sorites
analogues pour les groupes de normes incluant toutes les extensions finies.
Définition 4.1.5 Soit D une fonction de détermination sur k. Le groupe de normes
séparable N
s´ ep
D (k) est le sous-groupe de k × engendré par les N k /k
(k ) ×
où k
parcourt les extensions finies de corps séparables de k telles que D(k ) = •.
Dans le cas de D X , on retrouve bien sûr que N
s´ ep
X (k) = N
s´ ep
D X
(k). De plus, si
D ≤ D sont des fonctions de détermination sur k, on a N
s´ ep
D (k) ⊆ N
s´ ep
D (k). Enfin, si
K est une extension de k, on emploie abusivement la notation N
s´ ep
D (K) = N
s´ ep
D K
(K).
Lemme 4.1.6 Soit D une fonction de détermination sur k.
(1) Soit K = lim
− →
α∈I
k α une limite inductive filtrante de k-corps. Alors
lim
− →
α∈I
N
s´ ep
D (k α ) = N
s´ ep
D (K).
(2) Soit L/k une extension finie séparable de corps. Alors N L/k
N
s´ ep
D (L)
⊆
N
s´ ep
D (k).
(3) On suppose qu’il existe des extensions finies séparables k 1 , . . . , k n de k
telles que D(k i ) = • pour i = 1, . . . , n. Alors k ×d ⊆ N
s´ ep
D (k) où d =
pgcd([k 1 : k], . . . , [k n : k]).