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4 Dimension cohomologique séparable
Le lemme suivant indique que la notion de groupe de norme séparable d’un kschéma généralise le groupe de normes usuel d’une extension séparable.
Lemme 4.1.2 Soit A une k-algèbre étale sur k et posons X = Spec(A). Alors on a
N A/k (A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Démonstration Soit k /k une extension de corps finie satisfaisant X(k ) = ∅, i.e.
le morphisme de k -algèbres k → A ⊗ k k admet une rétraction ou de façon
équivalente il existe un isomorphisme A ⊗ k k ∼ = k × B où B est une k -algèbre.
Alors on a les inclusions
N k /k
(k
)
× )
⊆ N k /k
N A⊗ k k /k
(A ⊗ k k
)
×
⊆ N A/k (A
× ).
En prenant toutes les extensions k /k satisfaisant X(k ) = ∅, on obtient l’inclusion N X (k) ⊆ N A/k (A × ). Dans l’autre sens, on décompose A = k 1 ×
· · · × k r en produit d’extensions finies séparables de corps; on a N A/k (A × ) =
N k 1 /k (k
×
1 ) · · · N k r /k (k ×
r ). Pour chaque i, on a X(k i ) = ∅, d’où N k i /k (k
×
i ) ⊆
N
s´ ep
X (k) ⊂ N X (k). On conclut que N A/k (A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Nous allons inscrire la construction des groupes de normes dans un contexte
plus large, à savoir celui des fonctions de détermination. On note • l’ensemble à un
élément et 2 • = {∅, •} l’ensemble des parties de l’ensemble à un élément •.
Définition 4.1.3 (Karpenko-Merkurjev [108]) Une fonction de détermination
pour le corps k est une fonction D : k-Corps → 2 • qui satisfait les deux règles
suivantes:
(1) Pour tout morphisme E → E de k-corps, D(E) = • •⇒ D(E ) = •;
(2) (Continuité) Pour chaque limite inductive filtrante K = lim
− →
α∈I
k α de k-corps telle
que D(K) = •, il existe un indice α tel que D(k α ) = • .
Si D est une fonction de détermination sur k et K est une extension de corps de k,
alors la restriction D K de D aux extensions de K est une fonction de détermination
sur K.
Si D et D sont deux fonctions de détermination sur k, on dit que D est plus fine
que D et on écrit D ≤ D si pour tout k-corps E, on a D(E) = • •⇒ D (E) =
•. La relation ≤ est une relation d’équivalence.
Si X est un k-schéma de type fini, on pose D X (E) = ∅ si X(E) = ∅ et D X (E) =
• sinon; alors D X est une fonction de détermination sur k. En outre, si f : X → Y
désigne un morphisme entre k-schémas de type fini, alors on a D X ≤ D Y .
Si D 1 , . . . , D n sont des fonctions de détermination sur k, alors D =
D 1 ∧ D 2 ∧ · · · ∧ D n défini par D(E) =
i=1,...,n
D i (E) est une fonction de
détermination sur k.
4 Dimension cohomologique séparable
Le lemme suivant indique que la notion de groupe de norme séparable d’un kschéma généralise le groupe de normes usuel d’une extension séparable.
Lemme 4.1.2 Soit A une k-algèbre étale sur k et posons X = Spec(A). Alors on a
N A/k (A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Démonstration Soit k /k une extension de corps finie satisfaisant X(k ) = ∅, i.e.
le morphisme de k -algèbres k → A ⊗ k k admet une rétraction ou de façon
équivalente il existe un isomorphisme A ⊗ k k ∼ = k × B où B est une k -algèbre.
Alors on a les inclusions
N k /k
(k
)
× )
⊆ N k /k
N A⊗ k k /k
(A ⊗ k k
)
×
⊆ N A/k (A
× ).
En prenant toutes les extensions k /k satisfaisant X(k ) = ∅, on obtient l’inclusion N X (k) ⊆ N A/k (A × ). Dans l’autre sens, on décompose A = k 1 ×
· · · × k r en produit d’extensions finies séparables de corps; on a N A/k (A × ) =
N k 1 /k (k
×
1 ) · · · N k r /k (k ×
r ). Pour chaque i, on a X(k i ) = ∅, d’où N k i /k (k
×
i ) ⊆
N
s´ ep
X (k) ⊂ N X (k). On conclut que N A/k (A × ) = N
s´ ep
X (k) = N X (k).
Nous allons inscrire la construction des groupes de normes dans un contexte
plus large, à savoir celui des fonctions de détermination. On note • l’ensemble à un
élément et 2 • = {∅, •} l’ensemble des parties de l’ensemble à un élément •.
Définition 4.1.3 (Karpenko-Merkurjev [108]) Une fonction de détermination
pour le corps k est une fonction D : k-Corps → 2 • qui satisfait les deux règles
suivantes:
(1) Pour tout morphisme E → E de k-corps, D(E) = • •⇒ D(E ) = •;
(2) (Continuité) Pour chaque limite inductive filtrante K = lim
− →
α∈I
k α de k-corps telle
que D(K) = •, il existe un indice α tel que D(k α ) = • .
Si D est une fonction de détermination sur k et K est une extension de corps de k,
alors la restriction D K de D aux extensions de K est une fonction de détermination
sur K.
Si D et D sont deux fonctions de détermination sur k, on dit que D est plus fine
que D et on écrit D ≤ D si pour tout k-corps E, on a D(E) = • •⇒ D (E) =
•. La relation ≤ est une relation d’équivalence.
Si X est un k-schéma de type fini, on pose D X (E) = ∅ si X(E) = ∅ et D X (E) =
• sinon; alors D X est une fonction de détermination sur k. En outre, si f : X → Y
désigne un morphisme entre k-schémas de type fini, alors on a D X ≤ D Y .
Si D 1 , . . . , D n sont des fonctions de détermination sur k, alors D =
D 1 ∧ D 2 ∧ · · · ∧ D n défini par D(E) =
i=1,...,n
D i (E) est une fonction de
détermination sur k.