Chapitre 4
Dimension cohomologique séparable
Soit k un corps. On note p ≥ 1 son exposant caractéristique. On note k s une clôture
séparable de k et Γ k = G al(k s /k) le groupe de Galois absolu de k.
Si p = 1, la dimension cohomologique séparable de k est la dimension
cohomologique de k, mais si p > 1, la p-dimension cohomologique n’est pas un
invariant intéressant, en effet cd p (k) = 0 si Γ
(p)
k
= 1 et cd p (k) = 1 sinon [159,
II.2.2]. On est amené à définir la p-dimension cohomologique séparable en utilisant
les groupes de cohomologie galoisienne « modifiés » H
q+1
p (k) de Kato.
Le point le plus important est la caractérisation des corps de dimension cohomologique séparable ≤ 1 et ≤ 2 et le lien avec des cas particuliers des conjectures I et
II de Serre d’annulation en cohomologie galoisienne.
4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de
Severi-Brauer
Définition 4.1.1 Soit X un k-schéma de type fini.
(1) On définit le groupe de normes de X, noté N X (k), comme le sous-groupe de k ×
engendré par les N k /k
(k ) ×
où k parcourt les extensions finies de corps de k
telles que X(k ) = ∅.
(2) On définit le groupe de normes séparable de X, noté N
s´ ep
X (k) comme le sousgroupe de k × engendré par les N k /k
(k ) ×
où k parcourt les extensions finies
de corps séparables de k telles que X(k ) = ∅.
On a l’inclusion N
s´ ep
X (k) ⊆ N X (k) et on retient que si X(k) = ∅, alors N
s´ ep
X (k) =
N X (k) = k × . Si L est une extension de corps de k, on note abusivement N
s´ ep
X (L) =
N
s´ ep
X L
(L).
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_4
55