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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Réduction au cas de caractéristique nulle. Si k est de caractéristique p > 0, soit O
un anneau de Cohen pour le corps k, i.e. O est un anneau complet de valuation
discrète dont le corps de fractions K est de caractéristique nulle et dont p est
une uniformisante [27, IX.41]. La classe d’isomorphie de G est donnée par une
classe γ ∈ H 1 (k, Aut(G 0 )). Comme le Z-schéma en groupes Aut(G 0 ) est affine
lisse [60, XXIV.1.3], on peut utiliser le lemme de Hensel H 1 (O, Aut(G 0 ))
∼
−→
H 1 (k, Aut(G 0 )) [60, XXIV.8.1]. Ceci entraîne que G se relève en un O-schéma en
groupes G semi-simple simplement connexe. Soit X le O-schéma des sous-groupes
de Borel de G (ibid, XXII.5.8.3), il est lisse et projectif. Pour i = 1, .., r, soit K i
l’extension non ramifiée de K de corps résiduel k i . Soit O i son anneau de valuation
et considérons les applications
X(K i ) = X(O i ) → → X(k i ).
L’égalité de gauche vient de la projectivité et la surjectivité à droite suit du lemme
de Hensel. Par suite on a X(K i ) = ∅ pour i = 1, . . . , r. Comme [K i : K] = [k i : k]
pour i = 1, .., r, il suit que la K-variété X K possède un 0-cycle de degré 1. En
admettant connu le résultat dans le cas de caractéristique nulle, nous avons X(K) =
X(O) = ∅ d’où X(k) = ∅.
Nous pouvons supposer dans la suite que k est de caractéristique nulle. Soit
μ le centre de G et notons t G ∈ H 2 (k, μ) la classe de Tits de G [115, §31].
Comme la classe de Tits d’un groupe quasi-déployé est triviale, l’argument classique
de restriction-corestriction montre que t G = 0. En d’autres mots, G est une
forme fortement intérieure de G q . Ceala signifie qu’il existe un cocycle galoisien
z à valeurs dans G q (k s ) tel que G ∼ = z G q . Le Lemme 3.4.2 montre que notre
problème se traduit en la question de Serre [158, §2.4] sur la trivialité du noyau
de l’application naturelle
H
1 (k, G
q ) →
i=1,...,r
H
1 (k i , G
q ).
Ce noyau est trivial dans notre cas d’après Black [17, Th. 0.4], ce qui achève la
démonstration.
On peut associer à G un ensemble finis de nombres premiers S(G) (cf. table 4.1
au chapitre suivant). Comme le k-groupe algébrique semi-simple G se déploie après
une extension finie de corps dont les facteurs premiers appartiennent à S(G) [178],
on obtient le raffinement suivant.
Corollaire 3.4.3 Soit G un k-groupe semi-simple sans quotient de type E 8 . Soient
k 1 , . . . , k r des extensions finies de corps de k tel que pgcd([k 1 : k], . . . , [k r : k]) est
premier à S(G). Alors G est quasi-déployé si et seulement si G k i est quasi-déployé
pour i = 1, . . . , r.
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Réduction au cas de caractéristique nulle. Si k est de caractéristique p > 0, soit O
un anneau de Cohen pour le corps k, i.e. O est un anneau complet de valuation
discrète dont le corps de fractions K est de caractéristique nulle et dont p est
une uniformisante [27, IX.41]. La classe d’isomorphie de G est donnée par une
classe γ ∈ H 1 (k, Aut(G 0 )). Comme le Z-schéma en groupes Aut(G 0 ) est affine
lisse [60, XXIV.1.3], on peut utiliser le lemme de Hensel H 1 (O, Aut(G 0 ))
∼
−→
H 1 (k, Aut(G 0 )) [60, XXIV.8.1]. Ceci entraîne que G se relève en un O-schéma en
groupes G semi-simple simplement connexe. Soit X le O-schéma des sous-groupes
de Borel de G (ibid, XXII.5.8.3), il est lisse et projectif. Pour i = 1, .., r, soit K i
l’extension non ramifiée de K de corps résiduel k i . Soit O i son anneau de valuation
et considérons les applications
X(K i ) = X(O i ) → → X(k i ).
L’égalité de gauche vient de la projectivité et la surjectivité à droite suit du lemme
de Hensel. Par suite on a X(K i ) = ∅ pour i = 1, . . . , r. Comme [K i : K] = [k i : k]
pour i = 1, .., r, il suit que la K-variété X K possède un 0-cycle de degré 1. En
admettant connu le résultat dans le cas de caractéristique nulle, nous avons X(K) =
X(O) = ∅ d’où X(k) = ∅.
Nous pouvons supposer dans la suite que k est de caractéristique nulle. Soit
μ le centre de G et notons t G ∈ H 2 (k, μ) la classe de Tits de G [115, §31].
Comme la classe de Tits d’un groupe quasi-déployé est triviale, l’argument classique
de restriction-corestriction montre que t G = 0. En d’autres mots, G est une
forme fortement intérieure de G q . Ceala signifie qu’il existe un cocycle galoisien
z à valeurs dans G q (k s ) tel que G ∼ = z G q . Le Lemme 3.4.2 montre que notre
problème se traduit en la question de Serre [158, §2.4] sur la trivialité du noyau
de l’application naturelle
H
1 (k, G
q ) →
i=1,...,r
H
1 (k i , G
q ).
Ce noyau est trivial dans notre cas d’après Black [17, Th. 0.4], ce qui achève la
démonstration.
On peut associer à G un ensemble finis de nombres premiers S(G) (cf. table 4.1
au chapitre suivant). Comme le k-groupe algébrique semi-simple G se déploie après
une extension finie de corps dont les facteurs premiers appartiennent à S(G) [178],
on obtient le raffinement suivant.
Corollaire 3.4.3 Soit G un k-groupe semi-simple sans quotient de type E 8 . Soient
k 1 , . . . , k r des extensions finies de corps de k tel que pgcd([k 1 : k], . . . , [k r : k]) est
premier à S(G). Alors G est quasi-déployé si et seulement si G k i est quasi-déployé
pour i = 1, . . . , r.