3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1
51
Notant G
q
ad le quotient adjoint G de G q , cela signifie qu’il existe un cocycle
galoisien z : G al(k s /k) → G
q
ad (k s ) tel que G est isomorphe à z G q . Nous notons
π : G sc,q → G
q
ad le revêtement universel de G q . Alors z G sc,q est le revêtement
universel de z G q ∼ = G.
Lemme 3.4.2 Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) G est quasi-déployé;
(ii) [z] = 1 ∈ H 1 (k, G
q
ad );
Si de plus [z] = π ∗ [z sc ] pour un 1-cocycle z sc : G al(k s /k) → G sc,q (k s ),
c’est aussi équivalent à
(iii) [z sc ] = 1 ∈ H 1 (k, G sc,q ).
Démonstration La classe d’isomorphie de G est déterminée par l’image de [z] par
l’application H 1 (k, G
q
ad ) → H 1 (k, Aut(G q )). Cette application a un noyau trivial
car la suite exacte de k-groupes 1 → G
q
ad → Aut(G q ) → Autext(G q ) → 1
est scindée ([60, XXIV.3.10] ou [115, 31.4]). Ceci implique (ii) ⇒ (i). Le sens
opposé (i) ⇒ (ii) est trivial.
Nous supposons maintenant que z se relève en un 1-cocycle z sc . L’implication
(iii) ⇒ (ii) est triviale. Pour le sens (ii) ⇒ (iii), le point est que l’application
H 1 (k, G sc,q ) → H 1 (k, G q ) a un noyau trivial [75, lemme III.2.6] et nous rappelons
cet argument. Soit T sc,q un k-tore maximal d’un k-sous-groupe de Borel de
G sc,q . On sait que T sc,q est un k-tore quasi-trivial [60, XXVI.3.13] et par suite
H 1 (k, T sc,q ) = 1. Le k-tore T sc,q contient le centre C(G sc,q ) de G sc,q donc
l’application H 1
fppf (k, C(G sc,q )) → H 1 (k, G sc,q ) factorise par 1 = H 1 (k, T sc,q ),
donc est triviale. Cela établit la trivialité du noyau de H 1 (k, G sc,q ) → H 1 (k, G q ).
Nous passons à la démonstration du Théorème 3.4.1.
Démonstration Soit X la k-variété des sous-groupes de Borel de G [60, XXII.5.8.3].
Alors G est quasi-déployé si et seulement si X a un k-point. Nous devons donc
montrer que si X a un 0-cycle de degré 1, alors X a un k-point.
Sans perte de généralité, on peut supposer que G est simplement connexe de
sorte que l’on a une décomposition G
∼
−→
j =1,..,s R l j /k (G j ) où chaque G j est
un l j -groupe semi-simple simplement connexe absolument simple défini sur une
extension finie l j /k séparable. La variété X des sous-groupes de Borel de G est
isomorphe au produit
j =1,..,s R l j /k (X j ) où X j est la l j -variété des sous-groupes
de Borel de G j .
Réduction au cas absolument presque simple. Notre hypothèse est que X(k i ) = ∅
pour i = 1, .., r d’où X j (k i ⊗ k l j ) = ∅ pour i = 1, .., r et j = 1, .., s. Chaque
l j /k étant séparable, k i ⊗ k l j est une k i -algèbre étale pour i = 1, .., r; il suit que
X j possède un 0-cycle de degré 1. Si on sait traiter le cas de chaque X j , on a alors
X j (k j ) = ∅ d’où X(k) = ∅.
Nous supposons désormais que G est absolument presque simple et notons G 0
sa forme de Chevalley sur Z, i.e. G est une forme tordue de G 0 × Z k.
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Notant G
q
ad le quotient adjoint G de G q , cela signifie qu’il existe un cocycle
galoisien z : G al(k s /k) → G
q
ad (k s ) tel que G est isomorphe à z G q . Nous notons
π : G sc,q → G
q
ad le revêtement universel de G q . Alors z G sc,q est le revêtement
universel de z G q ∼ = G.
Lemme 3.4.2 Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) G est quasi-déployé;
(ii) [z] = 1 ∈ H 1 (k, G
q
ad );
Si de plus [z] = π ∗ [z sc ] pour un 1-cocycle z sc : G al(k s /k) → G sc,q (k s ),
c’est aussi équivalent à
(iii) [z sc ] = 1 ∈ H 1 (k, G sc,q ).
Démonstration La classe d’isomorphie de G est déterminée par l’image de [z] par
l’application H 1 (k, G
q
ad ) → H 1 (k, Aut(G q )). Cette application a un noyau trivial
car la suite exacte de k-groupes 1 → G
q
ad → Aut(G q ) → Autext(G q ) → 1
est scindée ([60, XXIV.3.10] ou [115, 31.4]). Ceci implique (ii) ⇒ (i). Le sens
opposé (i) ⇒ (ii) est trivial.
Nous supposons maintenant que z se relève en un 1-cocycle z sc . L’implication
(iii) ⇒ (ii) est triviale. Pour le sens (ii) ⇒ (iii), le point est que l’application
H 1 (k, G sc,q ) → H 1 (k, G q ) a un noyau trivial [75, lemme III.2.6] et nous rappelons
cet argument. Soit T sc,q un k-tore maximal d’un k-sous-groupe de Borel de
G sc,q . On sait que T sc,q est un k-tore quasi-trivial [60, XXVI.3.13] et par suite
H 1 (k, T sc,q ) = 1. Le k-tore T sc,q contient le centre C(G sc,q ) de G sc,q donc
l’application H 1
fppf (k, C(G sc,q )) → H 1 (k, G sc,q ) factorise par 1 = H 1 (k, T sc,q ),
donc est triviale. Cela établit la trivialité du noyau de H 1 (k, G sc,q ) → H 1 (k, G q ).
Nous passons à la démonstration du Théorème 3.4.1.
Démonstration Soit X la k-variété des sous-groupes de Borel de G [60, XXII.5.8.3].
Alors G est quasi-déployé si et seulement si X a un k-point. Nous devons donc
montrer que si X a un 0-cycle de degré 1, alors X a un k-point.
Sans perte de généralité, on peut supposer que G est simplement connexe de
sorte que l’on a une décomposition G
∼
−→
j =1,..,s R l j /k (G j ) où chaque G j est
un l j -groupe semi-simple simplement connexe absolument simple défini sur une
extension finie l j /k séparable. La variété X des sous-groupes de Borel de G est
isomorphe au produit
j =1,..,s R l j /k (X j ) où X j est la l j -variété des sous-groupes
de Borel de G j .
Réduction au cas absolument presque simple. Notre hypothèse est que X(k i ) = ∅
pour i = 1, .., r d’où X j (k i ⊗ k l j ) = ∅ pour i = 1, .., r et j = 1, .., s. Chaque
l j /k étant séparable, k i ⊗ k l j est une k i -algèbre étale pour i = 1, .., r; il suit que
X j possède un 0-cycle de degré 1. Si on sait traiter le cas de chaque X j , on a alors
X j (k j ) = ∅ d’où X(k) = ∅.
Nous supposons désormais que G est absolument presque simple et notons G 0
sa forme de Chevalley sur Z, i.e. G est une forme tordue de G 0 × Z k.