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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
1. Si X = B n (n ≥ 2), C n (n ≥ 2), resp. X = D n (n ≥ 2) non trialitaire, alors G
est déployé par une extension galoisienne 2-primaire et il en est de même de tout
G-torseur.
2. Si X = E 6 ou E 7 , alors G est déployé par une extension galoisienne résoluble
de degré 2 α 3 β et il en est de même de tout G-torseur.
Démonstration Le cas des torseurs résulte de celui des groupes en vertu du
Lemme 3.4.2 ci-après. On note K 2 (resp. K 6 ) le compositum des extensions
galoisiennes de degré 2 α (resp. 2 α 3 β ). On veut montrer que G K 2 (resp. G K 6 ) est
déployé dans le cas (1) (resp. (2)).
(1) La classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 2 ), H 2
fppf (k, μ 2 × μ 2 ) ou
H 2
fppf (k, μ 4 ). La Proposition 3.3.3 indique que t G,K 2 = 0. Ainsi G K 2 est une
forme fortement intérieure et la Proposition 3.3.1 permet de conclure que G K 2
est déployé.
(2) Dans le cas de E 6 , La classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 3 ). La
Proposition 3.3.3 indique que t G,K 6 = 0. Ainsi G K 6 est une forme fortement
intérieure et la Proposition 3.3.1 permet de conclure que G K 6 est déployé.
Dans le cas de E 7 , la classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 2 ).
Ainsi G K 2 est une forme fortement intérieure et a fortiori G K 6 . D’après [178,
lemme 1], G K 6 admet un K 6 -sous-groupe de type E 6 . Celui-ci est donc déployé
donc le K 6 -rang de G est ≥ 6. Ainsi le noyau anisotrope de G K 6 est de rang
≤ 1, il est donc trivial et G K 6 est déployé.
Le cas de type E 8 est discuté dans [178] et au §9.3.2.
3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1
Soit q une forme quadratique non-singulière. Un résultat fondamental est que
l’indice de Witt de q est insensible aux extensions finies de degré impair (Springer,
[155, §2, th. 5.3]). En particulier, la propriété d’avoir un indice de Witt maximal est
insensible aux extensions finies impaires; en d’autres mots, le k-groupe algébrique
semi-simple SO(q) est quasi-déployé si et seulement si c’est le cas après une
extension finie de degré impair de k. Ce fait se généralise en dehors du type E 8 .
Théorème 3.4.1 Soit G un k-groupe semi-simple sans quotient de type E 8 . Soient
k 1 , . . . , k r des extensions finies de k telles que pgcd([k 1 : k], . . . , [k r : k]) = 1.
Alors G est quasi-déployé si et seulement si G k i est quasi-déployé pour i =
1, . . . , r.
La démonstration n’est pas uniforme et rassemble plusieurs contributions,
notamment [10, 68]. Notons que la version “déployée" de ce résultat vaut aussi
dans le cas absolument presque simple ( = E 8 ) [75, th. C]. Nous rappelons que
le k-groupe semi-simple G est isomorphe à un tordu intérieur d’un k-groupe
semi-simple quasi-déployé G q et qu’un tel G q est unique à isomorphisme près.
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
1. Si X = B n (n ≥ 2), C n (n ≥ 2), resp. X = D n (n ≥ 2) non trialitaire, alors G
est déployé par une extension galoisienne 2-primaire et il en est de même de tout
G-torseur.
2. Si X = E 6 ou E 7 , alors G est déployé par une extension galoisienne résoluble
de degré 2 α 3 β et il en est de même de tout G-torseur.
Démonstration Le cas des torseurs résulte de celui des groupes en vertu du
Lemme 3.4.2 ci-après. On note K 2 (resp. K 6 ) le compositum des extensions
galoisiennes de degré 2 α (resp. 2 α 3 β ). On veut montrer que G K 2 (resp. G K 6 ) est
déployé dans le cas (1) (resp. (2)).
(1) La classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 2 ), H 2
fppf (k, μ 2 × μ 2 ) ou
H 2
fppf (k, μ 4 ). La Proposition 3.3.3 indique que t G,K 2 = 0. Ainsi G K 2 est une
forme fortement intérieure et la Proposition 3.3.1 permet de conclure que G K 2
est déployé.
(2) Dans le cas de E 6 , La classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 3 ). La
Proposition 3.3.3 indique que t G,K 6 = 0. Ainsi G K 6 est une forme fortement
intérieure et la Proposition 3.3.1 permet de conclure que G K 6 est déployé.
Dans le cas de E 7 , la classe de Tits t G de G est un élément de H 2
fppf (k, μ 2 ).
Ainsi G K 2 est une forme fortement intérieure et a fortiori G K 6 . D’après [178,
lemme 1], G K 6 admet un K 6 -sous-groupe de type E 6 . Celui-ci est donc déployé
donc le K 6 -rang de G est ≥ 6. Ainsi le noyau anisotrope de G K 6 est de rang
≤ 1, il est donc trivial et G K 6 est déployé.
Le cas de type E 8 est discuté dans [178] et au §9.3.2.
3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1
Soit q une forme quadratique non-singulière. Un résultat fondamental est que
l’indice de Witt de q est insensible aux extensions finies de degré impair (Springer,
[155, §2, th. 5.3]). En particulier, la propriété d’avoir un indice de Witt maximal est
insensible aux extensions finies impaires; en d’autres mots, le k-groupe algébrique
semi-simple SO(q) est quasi-déployé si et seulement si c’est le cas après une
extension finie de degré impair de k. Ce fait se généralise en dehors du type E 8 .
Théorème 3.4.1 Soit G un k-groupe semi-simple sans quotient de type E 8 . Soient
k 1 , . . . , k r des extensions finies de k telles que pgcd([k 1 : k], . . . , [k r : k]) = 1.
Alors G est quasi-déployé si et seulement si G k i est quasi-déployé pour i =
1, . . . , r.
La démonstration n’est pas uniforme et rassemble plusieurs contributions,
notamment [10, 68]. Notons que la version “déployée" de ce résultat vaut aussi
dans le cas absolument presque simple ( = E 8 ) [75, th. C]. Nous rappelons que
le k-groupe semi-simple G est isomorphe à un tordu intérieur d’un k-groupe
semi-simple quasi-déployé G q et qu’un tel G q est unique à isomorphisme près.