3.3 Déploiement des groupes semi-simples
49
Démonstration
(1) Soit G un k-groupe de type G 2 , alors G = Aut(C) pour une algèbre d’octonions
C. Comme C est déployée par une extension quadratique séparable (car admet
une sous-algèbre de quaternions), il en est de même de G.
(2) On commence par le cas de D n où G = Spin(φ) pour une forme quadratique
régulière φ de dimension 2n. On considère sa classe [φ] dans le groupe de
Witt quadratique I q (k) engendré par les formes quadratiques non dégénées de
dimension paire [63, §8]. En vertu de loc. cit, §9.6, I q (k) est engendré par les
formes b a (resp. b[1, a]) en caractéristique = 2 (resp. caractéristique 2)
pour b ∈ k × et a ∈ k × (resp. k). Soit K l’extension séparable multiquadratique
maximale de k. Alors I q (k) → I q (K) est triviale, en particulier φ K est
hyperbolique.
Dans le cas de B n , on a G = Spin(ψ) où ψ est une forme quadratique
non singulière de dimension 2n + 1 ≥ 5. Si k est de caractéristique = 2, il
est clair par diagonalisation que q K est isométrique à la forme standard ψ 0 =
x 2
0 + x 1 y 1 + · · · + x n y n . 2n + 1. On se place donc dans le cas de caractéristique
2. Alors ψ = =a ⊥ ϕ 1 ⊥ · · · ⊥ ϕ n où les ϕ i sont des formes régulières
binaires [63, Prop. 7.32]. On conclut que ψ K = =a K ⊕ H n = aψ 0 , donc G K
est déployé.
(3) On note F/k le compositum des extensions résolubles de degré 2 α 3 β . Soit G
un k-groupe fortement intérieur de type F 4 (resp. E 6 ). D’après Tits [178, lemme
1], G admet un k-sous-groupe semi-simple H de type A 2 × A 2 (resp. F 4 ). Dans
le cas de F 4 , H F est déployé (de rang 4), donc G est déployé. Dans le cas de E 6 ,
alors H F est déployé, donc le k-rang de G est ≥ 4. Suivant les tables de Tits, le
noyau anisotrope de G F est soit trivial, soit de type D 4 , soit de type A 2 × A 2 .
Les deux derniers cas ne sont pas possibles sur le corps F , donc G est déployé.
Remarque 3.3.2 Les cas de A n et C n sont omis car toute forme fortement intérieure
est déployée.
L’étape suivante utilise la conséquence importante suivante du théorème de
Merkurjev–Suslin.
Proposition 3.3.3 Soit l un nombre premier. Soit A une k-algèbre simple centrale
l-primaire. On suppose que μ l (k) = μ l (k s ). Alors A est déployée par une extension
galoisienne l-primaire (i.e. le groupe de Galois est un l-groupe).
Démonstration Si l est inversible dans k, il s’agit de [163, II.1]. Si l = p est la
caractéristique du corps k, on sait que A est Brauer-équivalente à une k-algèbre
cyclique [86, th. 9.1.8], donc est déployée par une extension cyclique p-primaire.
Proposition 3.3.4 (Tits, [178]) Soit G un k-groupe semi-simple absolument
presque k-simple qui est une forme intérieure. On note X le type de G.
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Démonstration
(1) Soit G un k-groupe de type G 2 , alors G = Aut(C) pour une algèbre d’octonions
C. Comme C est déployée par une extension quadratique séparable (car admet
une sous-algèbre de quaternions), il en est de même de G.
(2) On commence par le cas de D n où G = Spin(φ) pour une forme quadratique
régulière φ de dimension 2n. On considère sa classe [φ] dans le groupe de
Witt quadratique I q (k) engendré par les formes quadratiques non dégénées de
dimension paire [63, §8]. En vertu de loc. cit, §9.6, I q (k) est engendré par les
formes b a (resp. b[1, a]) en caractéristique = 2 (resp. caractéristique 2)
pour b ∈ k × et a ∈ k × (resp. k). Soit K l’extension séparable multiquadratique
maximale de k. Alors I q (k) → I q (K) est triviale, en particulier φ K est
hyperbolique.
Dans le cas de B n , on a G = Spin(ψ) où ψ est une forme quadratique
non singulière de dimension 2n + 1 ≥ 5. Si k est de caractéristique = 2, il
est clair par diagonalisation que q K est isométrique à la forme standard ψ 0 =
x 2
0 + x 1 y 1 + · · · + x n y n . 2n + 1. On se place donc dans le cas de caractéristique
2. Alors ψ = =a ⊥ ϕ 1 ⊥ · · · ⊥ ϕ n où les ϕ i sont des formes régulières
binaires [63, Prop. 7.32]. On conclut que ψ K = =a K ⊕ H n = aψ 0 , donc G K
est déployé.
(3) On note F/k le compositum des extensions résolubles de degré 2 α 3 β . Soit G
un k-groupe fortement intérieur de type F 4 (resp. E 6 ). D’après Tits [178, lemme
1], G admet un k-sous-groupe semi-simple H de type A 2 × A 2 (resp. F 4 ). Dans
le cas de F 4 , H F est déployé (de rang 4), donc G est déployé. Dans le cas de E 6 ,
alors H F est déployé, donc le k-rang de G est ≥ 4. Suivant les tables de Tits, le
noyau anisotrope de G F est soit trivial, soit de type D 4 , soit de type A 2 × A 2 .
Les deux derniers cas ne sont pas possibles sur le corps F , donc G est déployé.
Remarque 3.3.2 Les cas de A n et C n sont omis car toute forme fortement intérieure
est déployée.
L’étape suivante utilise la conséquence importante suivante du théorème de
Merkurjev–Suslin.
Proposition 3.3.3 Soit l un nombre premier. Soit A une k-algèbre simple centrale
l-primaire. On suppose que μ l (k) = μ l (k s ). Alors A est déployée par une extension
galoisienne l-primaire (i.e. le groupe de Galois est un l-groupe).
Démonstration Si l est inversible dans k, il s’agit de [163, II.1]. Si l = p est la
caractéristique du corps k, on sait que A est Brauer-équivalente à une k-algèbre
cyclique [86, th. 9.1.8], donc est déployée par une extension cyclique p-primaire.
Proposition 3.3.4 (Tits, [178]) Soit G un k-groupe semi-simple absolument
presque k-simple qui est une forme intérieure. On note X le type de G.