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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
(4) On note G 0 la forme déployée de G munie d’un k-tore maximal déployé
T 0 . Comme (G, T ) est une k-forme de (G 0 , T 0 ), on peut supposer que
(G, T ) = ( z G 0 , z T 0 ) où z est un 1-cocycle à valeurs dans N G 0 (T 0 )(k s ) =
Aut(G 0 , T 0 )(k s ). On note H 0 le k-sous-groupe de G 0 associé à T 0 et on a
N G 0 (T 0 ) = N G 0 (H 0 , T 0 ) = H 0 S 3 . On a H = z H 0 . En décomposant
H 1 (k, H 0 S 3 ), on conclut que H est une k-forme intérieure de sa forme quasidéployée.
Un autre avatar est l’énoncé suivant.
Lemme 3.2.15 On suppose que le corps k est 3-spécial. Soit G 0 le k-groupe
déployé semi-simple simplement connexe de type E 7 . On note H 0 le k-sous-groupe
semi-simple simplement connexe déployé de type E 6 de G obtenu en enlevant la
racine α 7 .
(1) L’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjective.
(2) Si [z] ∈ H 1 (k, G 0 ), alors le k-groupe z G 0 contient une forme fortement
intérieure de type E 6 .
Démonstration
(1) Le k-groupe H 0 est le groupe dérivé d’un sous-groupe de Levi L 0 d’un
k-parabolique de type {α 7 }. Le groupe de Weyl N L 0 (T 0 )/T 0 contient
N H 0 (T 0 )/T 0 = W (E 6 ) dont l’indice dans N G 0 (T 0 )/T 0 = W (E 7 ) est 2 3 7
qui est premier à 3. Le Lemme 3.2.13 implique que H 1 (k, L 0 ) → H 1 (k, G 0 )
est surjectif. Or L 0 /H 0 ∼ = G m , donc H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, L 0 ) est surjectif. Il
résulte que H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjectif.
(2) C’est une conséquence immédiate.
3.3 Déploiement des groupes semi-simples
Il est naturel de s’intéresser aux extensions déployantes des groupes semi-simples,
thème initié par J. Tits [178]. On procède en deux temps en commençant par les
formes fortement intérieures des groupes semi-simples simplement connexes.
Proposition 3.3.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple qui est une forme fortement intérieure de sa forme déployée.
On note X le type de G.
1. Si G est de type G 2 , alors G est déployé par une extension quadratique
séparable.
2. Si X = B n ou D n (n ≥ 1), alors G est déployé par une extension galoisienne
multiquadratique.
3. Si X = F 4 , E 6 alors G est déployé par une extension galoisienne résoluble de
degré 2 α 3 β .
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
(4) On note G 0 la forme déployée de G munie d’un k-tore maximal déployé
T 0 . Comme (G, T ) est une k-forme de (G 0 , T 0 ), on peut supposer que
(G, T ) = ( z G 0 , z T 0 ) où z est un 1-cocycle à valeurs dans N G 0 (T 0 )(k s ) =
Aut(G 0 , T 0 )(k s ). On note H 0 le k-sous-groupe de G 0 associé à T 0 et on a
N G 0 (T 0 ) = N G 0 (H 0 , T 0 ) = H 0 S 3 . On a H = z H 0 . En décomposant
H 1 (k, H 0 S 3 ), on conclut que H est une k-forme intérieure de sa forme quasidéployée.
Un autre avatar est l’énoncé suivant.
Lemme 3.2.15 On suppose que le corps k est 3-spécial. Soit G 0 le k-groupe
déployé semi-simple simplement connexe de type E 7 . On note H 0 le k-sous-groupe
semi-simple simplement connexe déployé de type E 6 de G obtenu en enlevant la
racine α 7 .
(1) L’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjective.
(2) Si [z] ∈ H 1 (k, G 0 ), alors le k-groupe z G 0 contient une forme fortement
intérieure de type E 6 .
Démonstration
(1) Le k-groupe H 0 est le groupe dérivé d’un sous-groupe de Levi L 0 d’un
k-parabolique de type {α 7 }. Le groupe de Weyl N L 0 (T 0 )/T 0 contient
N H 0 (T 0 )/T 0 = W (E 6 ) dont l’indice dans N G 0 (T 0 )/T 0 = W (E 7 ) est 2 3 7
qui est premier à 3. Le Lemme 3.2.13 implique que H 1 (k, L 0 ) → H 1 (k, G 0 )
est surjectif. Or L 0 /H 0 ∼ = G m , donc H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, L 0 ) est surjectif. Il
résulte que H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjectif.
(2) C’est une conséquence immédiate.
3.3 Déploiement des groupes semi-simples
Il est naturel de s’intéresser aux extensions déployantes des groupes semi-simples,
thème initié par J. Tits [178]. On procède en deux temps en commençant par les
formes fortement intérieures des groupes semi-simples simplement connexes.
Proposition 3.3.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple qui est une forme fortement intérieure de sa forme déployée.
On note X le type de G.
1. Si G est de type G 2 , alors G est déployé par une extension quadratique
séparable.
2. Si X = B n ou D n (n ≥ 1), alors G est déployé par une extension galoisienne
multiquadratique.
3. Si X = F 4 , E 6 alors G est déployé par une extension galoisienne résoluble de
degré 2 α 3 β .