3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
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(1) Si W H (T ) = W G (T ), alors N H (T ) = N G (T ) et l’énoncé est évident.
(2) Soit E un N G (T )-torseur et notons F = E/T le W G (T )-torseur associé. On
considère la k-variété E/N H (T ) ∼ = F/W H (T ). L’ensemble F (k s )/W G (T )(k s )
est un ensemble fini d’ordre premier à p muni d’une action du pro-p-groupe
G al(k s /k). Par suite, cette action admet un point fixe d’où (E/N H (T ))(k) ∼ =
(F /W G (T ))(k) = ∅. Ceci montre que le N G (T )-torseur E admet une réduction
à N H (T ) en vertu de [159, §I.5, prop. 37].
Lemme 3.2.14 Soit G un k-groupe semi-simple de type F 4 muni d’un k-tore
maximal T . Notons H le sous-groupe de G engendré par T et les sous-groupes
radiciels associés aux racines longues (à la manière du §2.3.2).
(1) H est semi-simple simplement connexe de type D 4 . En outre les morphismes
N G (H )/C(H ) → Aut(H ) et N G (H )/H → Autext(H ) sont des isomorphismes.
(2) Le k-groupe W H (T ) est distingué dans W G (T ) et W G (T )/W H (T )
∼
−→
Autext(H ).
(3) L’application H 1 (k, N G (H, T )) → H 1 (k, G) est surjective.
(4) Le k-groupe H est une forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.
Démonstration
(1) Par définition, H k s est l’unique k s -sous-groupe lisse et connexe de G k s contenant T k s telle que
L ie(H k s ) = L ie(T k s ) ⊕
α∈Φ(G ks ,T ks ) >
k s u α
où Φ(G k s , T k s ) > désigne le sous-ensemble des racines longues de Φ(G k s , T k s ).
Comme ce sous-système est symétrique, H est réductif. De plus ce soussystème est de type D 4 , donc en particulier de rang 4. Ainsi H est semi-simple
de type D 4 . Il est bien connu que le sous-réseau engendré par les racines longues
dans celui des racines est d’indice 4. Ainsi Φ(G k s , T k s ) > engendre un sousréseau de
T (k s ) d’indice 4 et H k s est simplement connexe. Il résulte que H est
semi-simple simplement connexe de type D 4 .
Le morphisme N G (H )/C(H ) → Aut(H ) (resp. N G (H )/H → Autext(H ))
est un monomorphisme et il suffit de montrer que N G (H )/H → Autext(H )
est surjectif. Le point est que N G (T ) = N G (H, T ) et on peut donc considérer le composé N G (T )/T → N G (H )/H → Autext(H ). Son noyau est
N H (T )/T et on a donc une suite exacte 1 → N H (T )/T → N G (T )/T →
Autext(H ). Comme (N H (T )/T )(k s ) est d’indice 6 dans (N H (T )/T )(k s ) et
que Autext(H )(k s ) ∼ = S 3 , le morphisme N G (T )/T → Autext(H ) est surjectif.
On conclut que N G (H )/H → Autext(H ) est surjectif.
(2) On vient de voir que l’on a une suite exacte 1 → W H (T ) → W G (T ) →
Autext(H ) → 1.
(3) Celà suit du fait N G (T ) = N G (H, T ).
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(1) Si W H (T ) = W G (T ), alors N H (T ) = N G (T ) et l’énoncé est évident.
(2) Soit E un N G (T )-torseur et notons F = E/T le W G (T )-torseur associé. On
considère la k-variété E/N H (T ) ∼ = F/W H (T ). L’ensemble F (k s )/W G (T )(k s )
est un ensemble fini d’ordre premier à p muni d’une action du pro-p-groupe
G al(k s /k). Par suite, cette action admet un point fixe d’où (E/N H (T ))(k) ∼ =
(F /W G (T ))(k) = ∅. Ceci montre que le N G (T )-torseur E admet une réduction
à N H (T ) en vertu de [159, §I.5, prop. 37].
Lemme 3.2.14 Soit G un k-groupe semi-simple de type F 4 muni d’un k-tore
maximal T . Notons H le sous-groupe de G engendré par T et les sous-groupes
radiciels associés aux racines longues (à la manière du §2.3.2).
(1) H est semi-simple simplement connexe de type D 4 . En outre les morphismes
N G (H )/C(H ) → Aut(H ) et N G (H )/H → Autext(H ) sont des isomorphismes.
(2) Le k-groupe W H (T ) est distingué dans W G (T ) et W G (T )/W H (T )
∼
−→
Autext(H ).
(3) L’application H 1 (k, N G (H, T )) → H 1 (k, G) est surjective.
(4) Le k-groupe H est une forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.
Démonstration
(1) Par définition, H k s est l’unique k s -sous-groupe lisse et connexe de G k s contenant T k s telle que
L ie(H k s ) = L ie(T k s ) ⊕
α∈Φ(G ks ,T ks ) >
k s u α
où Φ(G k s , T k s ) > désigne le sous-ensemble des racines longues de Φ(G k s , T k s ).
Comme ce sous-système est symétrique, H est réductif. De plus ce soussystème est de type D 4 , donc en particulier de rang 4. Ainsi H est semi-simple
de type D 4 . Il est bien connu que le sous-réseau engendré par les racines longues
dans celui des racines est d’indice 4. Ainsi Φ(G k s , T k s ) > engendre un sousréseau de
T (k s ) d’indice 4 et H k s est simplement connexe. Il résulte que H est
semi-simple simplement connexe de type D 4 .
Le morphisme N G (H )/C(H ) → Aut(H ) (resp. N G (H )/H → Autext(H ))
est un monomorphisme et il suffit de montrer que N G (H )/H → Autext(H )
est surjectif. Le point est que N G (T ) = N G (H, T ) et on peut donc considérer le composé N G (T )/T → N G (H )/H → Autext(H ). Son noyau est
N H (T )/T et on a donc une suite exacte 1 → N H (T )/T → N G (T )/T →
Autext(H ). Comme (N H (T )/T )(k s ) est d’indice 6 dans (N H (T )/T )(k s ) et
que Autext(H )(k s ) ∼ = S 3 , le morphisme N G (T )/T → Autext(H ) est surjectif.
On conclut que N G (H )/H → Autext(H ) est surjectif.
(2) On vient de voir que l’on a une suite exacte 1 → W H (T ) → W G (T ) →
Autext(H ) → 1.
(3) Celà suit du fait N G (T ) = N G (H, T ).