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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
3.2.6 Le cas parfait
Lemme 3.2.12 On suppose k parfait et G irréductible. Soient P un L-sousgroupe parabolique de G L et H /k l’unique k-sous-groupe de G tel que
H L = P ∩ σ 2 P · · · ∩ σ n P . Alors H 0
red est un k-groupe réductif. En outre,
dim(H ) ≥ dim(G) − n codim(P ).
Ici H red désigne le sous-schéma réduit de H , c’est bien un sous-groupe puisque
k est parfait [60, VI A .0.2].
Démonstration Le k-groupe H 0
red est lisse, on note U son radical unipotent. Si U
est non trivial, on sait d’après Borel-Tits [23, th. 2.5] que U normalise un k-sousgroupe parabolique propre P (U), ce qui contredit l’irréductibilité. Ainsi H 0
red est
réductif.
3.2.7 Construction de sous-groupes par la cohomologie
galoisienne
Le principe est le suivant. Étant donné un k-sous-groupe H d’un k-groupe algébrique affine lisse G, on se donne [z] ∈ H 1 (k, G). D’après [159, III.2.2, lemme 1],
les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) [z] ∈ Im
H 1 (k, N G (H )) → H 1 (k, G)
;
(ii) le k-groupe tordu z G admet un k-sous-groupe H qui est G(k s )-conjugué à H .
Le sens (i) ⇒ (ii) est le sens facile. En effet supposant que z est à valeurs
dans N G (H )(k s ), z G admet le k-sous-groupe z H . Une façon de produire des sousgroupes des groupes tordus passe donc par l’analyse de la réduction des classes de
H 1 (k, G) à des sous-groupes convenables.
D’après Grothendieck, on sait que G admet un k-tore maximal T [60, XIV.1].
Comme il en est de même de tous les tordus de G et que les k s -tores maximaux de
G sont conjugués [53, A.2.10] la discussion précédente indique que l’application
H 1 (k, N G (T )) → H 1 (k, G) est surjective. Le fait suivant est bien connu dans le
cas déployé.
Lemme 3.2.13 Sous les hypothèses précédentes, on se donne un k-sous-groupe
lisse H de G contenant T . On considère les groupes de Weyl W G (T ) = N G (T )/T
(resp. W H (T ) = N H (T )/T ).
(1) Si W H (T ) = W G (T ), alors l’application H 1 (k, H ) → H 1 (k, G) est surjective.
(2) Soit p un nombre premier ne divisant pas l’ordre de l’ensemble fini
W G (T )(k s )/W H (T )(k s ). Si k est p-spécial, alors l’application H 1 (k, H ) →
H 1 (k, G) est surjective.
Démonstration Dans les deux cas, il suffit de montrer que H 1 (k, N H (T )) →
H 1 (k, N G (T )) est surjectif.
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
3.2.6 Le cas parfait
Lemme 3.2.12 On suppose k parfait et G irréductible. Soient P un L-sousgroupe parabolique de G L et H /k l’unique k-sous-groupe de G tel que
H L = P ∩ σ 2 P · · · ∩ σ n P . Alors H 0
red est un k-groupe réductif. En outre,
dim(H ) ≥ dim(G) − n codim(P ).
Ici H red désigne le sous-schéma réduit de H , c’est bien un sous-groupe puisque
k est parfait [60, VI A .0.2].
Démonstration Le k-groupe H 0
red est lisse, on note U son radical unipotent. Si U
est non trivial, on sait d’après Borel-Tits [23, th. 2.5] que U normalise un k-sousgroupe parabolique propre P (U), ce qui contredit l’irréductibilité. Ainsi H 0
red est
réductif.
3.2.7 Construction de sous-groupes par la cohomologie
galoisienne
Le principe est le suivant. Étant donné un k-sous-groupe H d’un k-groupe algébrique affine lisse G, on se donne [z] ∈ H 1 (k, G). D’après [159, III.2.2, lemme 1],
les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) [z] ∈ Im
H 1 (k, N G (H )) → H 1 (k, G)
;
(ii) le k-groupe tordu z G admet un k-sous-groupe H qui est G(k s )-conjugué à H .
Le sens (i) ⇒ (ii) est le sens facile. En effet supposant que z est à valeurs
dans N G (H )(k s ), z G admet le k-sous-groupe z H . Une façon de produire des sousgroupes des groupes tordus passe donc par l’analyse de la réduction des classes de
H 1 (k, G) à des sous-groupes convenables.
D’après Grothendieck, on sait que G admet un k-tore maximal T [60, XIV.1].
Comme il en est de même de tous les tordus de G et que les k s -tores maximaux de
G sont conjugués [53, A.2.10] la discussion précédente indique que l’application
H 1 (k, N G (T )) → H 1 (k, G) est surjective. Le fait suivant est bien connu dans le
cas déployé.
Lemme 3.2.13 Sous les hypothèses précédentes, on se donne un k-sous-groupe
lisse H de G contenant T . On considère les groupes de Weyl W G (T ) = N G (T )/T
(resp. W H (T ) = N H (T )/T ).
(1) Si W H (T ) = W G (T ), alors l’application H 1 (k, H ) → H 1 (k, G) est surjective.
(2) Soit p un nombre premier ne divisant pas l’ordre de l’ensemble fini
W G (T )(k s )/W H (T )(k s ). Si k est p-spécial, alors l’application H 1 (k, H ) →
H 1 (k, G) est surjective.
Démonstration Dans les deux cas, il suffit de montrer que H 1 (k, N H (T )) →
H 1 (k, N G (T )) est surjectif.