3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
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Killing (B, T ) de G et on considère le système de racines associé Φ(G, T ).
L’algèbre de Lie L ie(G) se décompose en
L ie(G) = L ie(T ) ⊕
α∈R
u α .
Le choix de B donne lieu à une base Δ = {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } avec bien entendu
les conventions de numérotation du diagramme de l’énoncé.
On note u l’unique automorphisme d’ordre 3 de Φ(G, T ) satisfaisant
u(α 1 ) = α 3 et u(α 3 ) = α 4 (voir les tables de [28]). Cet élément se relève en un
élément v d’ordre 3 de Aut(G, T )(k). Soit P 1 le k-groupe parabolique contenant
B associé à la partie α 2 , α 3 , α 4 de Δ. On pose P 2 = v(P 1 ) et P 3 = v(P 2 ). On
pose H = P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 . D’après le Lemme 2.3.5, H est lisse et connexe. En
outre L ie(H ) = L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ L ie(P 3 ). Par suite
L ie(H ) = L ie(T ) ⊕
α∈R
u α
où R = Φ(P 1 , T ) ∩ Φ(P 2 , T ) ∩ Φ(P 3 , T ). Un calcul montre que R est le
sous-système de type A 2 de base α 2 , α 1 + α 3 + α 4 .
Dans le cas de E 6 , la construction est la même à ceci près que P 1 est associé à
la partie {α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 } et que v est l’automorphisme d’ordre 3 de Φ(G, T )
défini par le fait qu’il permute de façon cyclique les facteurs du sous-système
A 2 × A 2 × A 2 (dont une base est α 1 , α 2 , α 6 , α 5 , α 2 , α 0 , α 0 désignant la racine
minimale).
(2) On a M L = P ∩ σ P ∩ σ 2
P et on considère le morphisme
M L → corad(P ) × corad(
σ
P ) × corad(
σ 2
P )
∼
−→ G
3
m,L .
Ce morphisme se descend en un k-morphisme q : M → R L/k (G m ). On observe
que le noyau de q est DM et donc que l’image de q est un k-sous-tore de rang
2 de R L/k (G m ) qui est Γ -invariant. La seule possibilité est le tore normique
R 1
L/k (G m ).
(3) On suppose que G L est déployé. Alors M L est déployé et DM est un k-groupe
semi-simple (simplement connexe) de type A 2 (resp. D 4 ) déployé par L/k.
Commençons par le type D 4 . Alors DM est intérieur et il existe une k-algèbre
simple centrale A de degré 3 telle que DM ∼ = SL 1 (A). Vu que DM L est
déployé, A est déployé par L et la Proposition 3.2.6 indique que DM admet
un k-tore isomorphe à R 1
L/k (G m ). Ainsi M = S.DM admet un k-tore isogène
à R 1
L/k (G m ) 2 . On conclut que M admet un k-tore maximal déployé par L/k.
Ce fait montre donc qu’un k-groupe de type D 4 déployé par L/k admet
un k-tore maximal déployé par L/k. Ceci permet d’appliquer le raisonnement
précédent au cas E 6 .
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Killing (B, T ) de G et on considère le système de racines associé Φ(G, T ).
L’algèbre de Lie L ie(G) se décompose en
L ie(G) = L ie(T ) ⊕
α∈R
u α .
Le choix de B donne lieu à une base Δ = {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } avec bien entendu
les conventions de numérotation du diagramme de l’énoncé.
On note u l’unique automorphisme d’ordre 3 de Φ(G, T ) satisfaisant
u(α 1 ) = α 3 et u(α 3 ) = α 4 (voir les tables de [28]). Cet élément se relève en un
élément v d’ordre 3 de Aut(G, T )(k). Soit P 1 le k-groupe parabolique contenant
B associé à la partie α 2 , α 3 , α 4 de Δ. On pose P 2 = v(P 1 ) et P 3 = v(P 2 ). On
pose H = P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 . D’après le Lemme 2.3.5, H est lisse et connexe. En
outre L ie(H ) = L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ L ie(P 3 ). Par suite
L ie(H ) = L ie(T ) ⊕
α∈R
u α
où R = Φ(P 1 , T ) ∩ Φ(P 2 , T ) ∩ Φ(P 3 , T ). Un calcul montre que R est le
sous-système de type A 2 de base α 2 , α 1 + α 3 + α 4 .
Dans le cas de E 6 , la construction est la même à ceci près que P 1 est associé à
la partie {α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 } et que v est l’automorphisme d’ordre 3 de Φ(G, T )
défini par le fait qu’il permute de façon cyclique les facteurs du sous-système
A 2 × A 2 × A 2 (dont une base est α 1 , α 2 , α 6 , α 5 , α 2 , α 0 , α 0 désignant la racine
minimale).
(2) On a M L = P ∩ σ P ∩ σ 2
P et on considère le morphisme
M L → corad(P ) × corad(
σ
P ) × corad(
σ 2
P )
∼
−→ G
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m,L .
Ce morphisme se descend en un k-morphisme q : M → R L/k (G m ). On observe
que le noyau de q est DM et donc que l’image de q est un k-sous-tore de rang
2 de R L/k (G m ) qui est Γ -invariant. La seule possibilité est le tore normique
R 1
L/k (G m ).
(3) On suppose que G L est déployé. Alors M L est déployé et DM est un k-groupe
semi-simple (simplement connexe) de type A 2 (resp. D 4 ) déployé par L/k.
Commençons par le type D 4 . Alors DM est intérieur et il existe une k-algèbre
simple centrale A de degré 3 telle que DM ∼ = SL 1 (A). Vu que DM L est
déployé, A est déployé par L et la Proposition 3.2.6 indique que DM admet
un k-tore isomorphe à R 1
L/k (G m ). Ainsi M = S.DM admet un k-tore isogène
à R 1
L/k (G m ) 2 . On conclut que M admet un k-tore maximal déployé par L/k.
Ce fait montre donc qu’un k-groupe de type D 4 déployé par L/k admet
un k-tore maximal déployé par L/k. Ceci permet d’appliquer le raisonnement
précédent au cas E 6 .