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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Démonstration L’idée est d’étendre cette construction à l’ouvert de transversalité
V de Z = R L/k (Y L ) afin d’estimer la variation de G v en fonction de v.
On note P le W L sous-schéma en groupes paraboliques naturel de G × k W L .
Alors σ P/W L est opposé à P si bien que l’intersection P × W L
σ P se descend un
V -schéma en groupes réductifs M tel que M × V V L est un sous-groupe de Levi de
P. On observe que M L(W ) est isomorphe à G v 0 ,L(W ) . En particulier, l’invariant ∗
(et la classe de Tits) de M L(W ) coïncident avec ceux de G v 0 ,L .
L’invariant de Tits de D(M) est un élément de H 1 (V , Autext(DM 0 )) où DM 0
désigne la k-forme de Chevalley de DM et Autext(DM 0 )) désigne le k-groupe (fini
constant) des automorphismes extérieurs de DM 0 . Comme H 1 (V k s , Autext(DM 0 ))
s’injecte dans H 1 (V k s , Autext(DM 0 )), il suit que l’invariant de Tits de M × V V k s
est trivial. On a une suite exacte d’ensembles pointés [82, fin de §2.2]
1 → H
1 (k, Autext(DM 0 )) → H
1 (V , Autext(DM 0 )) → H
1 (V k s , Autext(DM 0 )),
donc l’invariant de Tits de V est constant, c’est-à-dire provient d’une classe
de H 1 (k, Autext(DM 0 )). Par spécialisation en v 0 ∈ V (k), on obtient bien que
l’invariant de Tits de D(M) coïncide avec celui de DG v 0 .
3.2.5 Cas cubique
On suppose que Γ est cyclique d’ordre 3; on note Γ = {1, σ, σ 2 }.
Proposition 3.2.11 On suppose que k est infini. On suppose que G est de type D 4
(resp. E 6 ). Soit Y la variété des k-sous-groupes paraboliques respectivement de type
α 2
α 3
1
4
,
2
4
3
1
6
5
.
(1) il existe [P ] ∈ Y (L) et un k-groupe réductif M de G de type T 2 .A 2 (resp. T 2 .D 4 )
tel que M L = P ∩ σ P ∩ σ 2
P .
(2) On note S = corad(M). On a un isomorphisme naturel S ∼
−→ R 1
L/k (G m ).
(3) Si G L est déployé, alors M (et G) contient un k-tore maximal déployé par L/k.
Démonstration
(1) Nous explicitons le cas trialitaire et indiquerons à la fin ce qui change pour
E 6 . Nous allons vérifier la condition de transversalité en considérant le cas G
déployé sur un corps algébriquement clos. On se donne donc un couple de
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Démonstration L’idée est d’étendre cette construction à l’ouvert de transversalité
V de Z = R L/k (Y L ) afin d’estimer la variation de G v en fonction de v.
On note P le W L sous-schéma en groupes paraboliques naturel de G × k W L .
Alors σ P/W L est opposé à P si bien que l’intersection P × W L
σ P se descend un
V -schéma en groupes réductifs M tel que M × V V L est un sous-groupe de Levi de
P. On observe que M L(W ) est isomorphe à G v 0 ,L(W ) . En particulier, l’invariant ∗
(et la classe de Tits) de M L(W ) coïncident avec ceux de G v 0 ,L .
L’invariant de Tits de D(M) est un élément de H 1 (V , Autext(DM 0 )) où DM 0
désigne la k-forme de Chevalley de DM et Autext(DM 0 )) désigne le k-groupe (fini
constant) des automorphismes extérieurs de DM 0 . Comme H 1 (V k s , Autext(DM 0 ))
s’injecte dans H 1 (V k s , Autext(DM 0 )), il suit que l’invariant de Tits de M × V V k s
est trivial. On a une suite exacte d’ensembles pointés [82, fin de §2.2]
1 → H
1 (k, Autext(DM 0 )) → H
1 (V , Autext(DM 0 )) → H
1 (V k s , Autext(DM 0 )),
donc l’invariant de Tits de V est constant, c’est-à-dire provient d’une classe
de H 1 (k, Autext(DM 0 )). Par spécialisation en v 0 ∈ V (k), on obtient bien que
l’invariant de Tits de D(M) coïncide avec celui de DG v 0 .
3.2.5 Cas cubique
On suppose que Γ est cyclique d’ordre 3; on note Γ = {1, σ, σ 2 }.
Proposition 3.2.11 On suppose que k est infini. On suppose que G est de type D 4
(resp. E 6 ). Soit Y la variété des k-sous-groupes paraboliques respectivement de type
α 2
α 3
1
4
,
2
4
3
1
6
5
.
(1) il existe [P ] ∈ Y (L) et un k-groupe réductif M de G de type T 2 .A 2 (resp. T 2 .D 4 )
tel que M L = P ∩ σ P ∩ σ 2
P .
(2) On note S = corad(M). On a un isomorphisme naturel S ∼
−→ R 1
L/k (G m ).
(3) Si G L est déployé, alors M (et G) contient un k-tore maximal déployé par L/k.
Démonstration
(1) Nous explicitons le cas trialitaire et indiquerons à la fin ce qui change pour
E 6 . Nous allons vérifier la condition de transversalité en considérant le cas G
déployé sur un corps algébriquement clos. On se donne donc un couple de