3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
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Lemme 3.2.8 On suppose le corps k infini.
(1) Y (L) = ∅ si et seulement si V (k) = ∅.
(2) Soit v ∈ V (k). Alors le stabilisateur G v est un k-groupe réductif de G et
(G v ) L = P ∩ σ P pour un L-parabolique de G. En outre (G v ) L est un Lsous-groupe de Levi de P (resp σ P ).
(3) Soit v ∈ V (k). L’application H 1 (L/k, G v ) → H 1 (L/k, G) est surjective.
(4) Soit v ∈ V (k). Si Y est une variété de sous-groupes paraboliques de co-rang 1,
alors C(G v ) est isomorphe à R 1
L/k (G m ).
Démonstration On va utiliser l’inclusion V (k) ⊂ Z(k) = Y (L) et que son image
consiste en les y ∈ Y (L) tels que P y et σ P y sont des L-paraboliques opposés.
(1) Si V (k) = ∅, on a Y (L) = ∅. Réciproquement on suppose que Z(k) = Y (L) =
∅. La k-variété lisse Z est alors k-rationnelle, donc Z(k) est Zariski dense dans
Z. On conclut que V (k) = ∅.
(2) On associe à v ∈ V (k) son image y ∈ Y (L). Celle-ci définit un L-sous-groupe
parabolique P y = Stab G L (y); on a G v ⊂ P y et G v ⊂ P y ∩ σ P y . En étendant les
scalaires à L, on constate que G v = P y ∩ σ P y et que G v,L est un L-sous-groupe
de Levi de P y .
(3) Un 1-cocycle de Γ dans G(L) est la donnée d’un élément g ∈ G(L) satisfaisant
l’identité g σ (g) = 1. Comme G(L) est dense dans R L/k (G), quitte à remplacer
g par un 1-cocycle cohomologue h −1 g σ (h), on peut supposer que g appartient
à la grosse cellule R u (P y )(L) × G u (L) × σ R u (P y )(L) )→ G(L). Par suite, il
existe m ∈ G u (L), u 1 , u 2 ∈ R u (P )(L) tels que g = u 1 m σ (u 2 ). On a g =
g −σ = u
−1
2 m −σ u
−σ
1 ; par unicité de la décomposition de Bruhat, on obtient
u 1 = u
−1
2 . Ainsi g = u
−1
2 m σ (u 2 ) est cohomologue au 1-cocycle défini par m.
(4) Notre hypothèse entraîne que C(G v ) L est un tore déployé de rang 1. Ainsi le
centre C(G v ) est un k-tore de rang 1 déployé par L/k, on dispose donc d’un
isomorphisme unique C(G v ) L ∼ = G m,L . On a donc une décomposition G m,L -
équivariante L ie(G L ) = L ie(G v,L ) ⊕ L ie(G L ) >0 ⊕ L ie(G L ) <0 qui, à
permutation des deux derniers facteurs près, est la décomposition L ie(G L ) =
L ie(G u,L ) ⊕ L ie(R u (P y )) ⊕ σ L ie(R u (P y )). Ceci montre que Γ permute
L ie(G L ) >0 et L ie(G L ) <0 . Le k-groupe C(M) n’est donc pas déployé et il
est donc isomorphe à R 1
L/k (G m ).
Remarques 3.2.9
(a) Si G est semi-simple simplement connexe, le k-groupe semi-simple DM est
aussi simplement connexe.
(b) Si −1 appartient au groupe de Weyl de la forme déployée de G, alors toute
classe de conjugaison de sous-groupe parabolique de G est auto-opposée. Ceci
s’applique si G est de type A n , B n , C n , D 2n , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 .
Lemme 3.2.10 On suppose que k est infini et que V (k) = ∅. L’invariant ∗ de DG v
ne dépend pas du choix de v ∈ V (k).
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Lemme 3.2.8 On suppose le corps k infini.
(1) Y (L) = ∅ si et seulement si V (k) = ∅.
(2) Soit v ∈ V (k). Alors le stabilisateur G v est un k-groupe réductif de G et
(G v ) L = P ∩ σ P pour un L-parabolique de G. En outre (G v ) L est un Lsous-groupe de Levi de P (resp σ P ).
(3) Soit v ∈ V (k). L’application H 1 (L/k, G v ) → H 1 (L/k, G) est surjective.
(4) Soit v ∈ V (k). Si Y est une variété de sous-groupes paraboliques de co-rang 1,
alors C(G v ) est isomorphe à R 1
L/k (G m ).
Démonstration On va utiliser l’inclusion V (k) ⊂ Z(k) = Y (L) et que son image
consiste en les y ∈ Y (L) tels que P y et σ P y sont des L-paraboliques opposés.
(1) Si V (k) = ∅, on a Y (L) = ∅. Réciproquement on suppose que Z(k) = Y (L) =
∅. La k-variété lisse Z est alors k-rationnelle, donc Z(k) est Zariski dense dans
Z. On conclut que V (k) = ∅.
(2) On associe à v ∈ V (k) son image y ∈ Y (L). Celle-ci définit un L-sous-groupe
parabolique P y = Stab G L (y); on a G v ⊂ P y et G v ⊂ P y ∩ σ P y . En étendant les
scalaires à L, on constate que G v = P y ∩ σ P y et que G v,L est un L-sous-groupe
de Levi de P y .
(3) Un 1-cocycle de Γ dans G(L) est la donnée d’un élément g ∈ G(L) satisfaisant
l’identité g σ (g) = 1. Comme G(L) est dense dans R L/k (G), quitte à remplacer
g par un 1-cocycle cohomologue h −1 g σ (h), on peut supposer que g appartient
à la grosse cellule R u (P y )(L) × G u (L) × σ R u (P y )(L) )→ G(L). Par suite, il
existe m ∈ G u (L), u 1 , u 2 ∈ R u (P )(L) tels que g = u 1 m σ (u 2 ). On a g =
g −σ = u
−1
2 m −σ u
−σ
1 ; par unicité de la décomposition de Bruhat, on obtient
u 1 = u
−1
2 . Ainsi g = u
−1
2 m σ (u 2 ) est cohomologue au 1-cocycle défini par m.
(4) Notre hypothèse entraîne que C(G v ) L est un tore déployé de rang 1. Ainsi le
centre C(G v ) est un k-tore de rang 1 déployé par L/k, on dispose donc d’un
isomorphisme unique C(G v ) L ∼ = G m,L . On a donc une décomposition G m,L -
équivariante L ie(G L ) = L ie(G v,L ) ⊕ L ie(G L ) >0 ⊕ L ie(G L ) <0 qui, à
permutation des deux derniers facteurs près, est la décomposition L ie(G L ) =
L ie(G u,L ) ⊕ L ie(R u (P y )) ⊕ σ L ie(R u (P y )). Ceci montre que Γ permute
L ie(G L ) >0 et L ie(G L ) <0 . Le k-groupe C(M) n’est donc pas déployé et il
est donc isomorphe à R 1
L/k (G m ).
Remarques 3.2.9
(a) Si G est semi-simple simplement connexe, le k-groupe semi-simple DM est
aussi simplement connexe.
(b) Si −1 appartient au groupe de Weyl de la forme déployée de G, alors toute
classe de conjugaison de sous-groupe parabolique de G est auto-opposée. Ceci
s’applique si G est de type A n , B n , C n , D 2n , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 .
Lemme 3.2.10 On suppose que k est infini et que V (k) = ∅. L’invariant ∗ de DG v
ne dépend pas du choix de v ∈ V (k).