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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Proposition 3.2.6 Soient A une algèbre simple centrale de degré n et L/k une
extension finie de corps séparable de degré n. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) A ⊗ k L est déployée;
(ii) Le k-groupe GL 1 (A) admet un k-tore maximal T isomorphe à R L/k (G m ).
Démonstration On commence par le cas A = M n (k). Alors (i) vaut et (ii) aussi.
En effet, le choix d’une k-base de L donne lieu à un isomorphisme GL n ∼ = GL(L);
la multiplication de L produit un plongement R L/k (G m ) )→ GL(L) de R L/k (G m )
comme tore maximal. Ce premier cas permet d’écarter le cas d’un corps fini. On
suppose donc k infini dans la suite.
On prend comme variété Y/L la variété de Severi–Brauer de A ⊗ k L dont on
va montrer que la condition de transversalité est satisfaite. Cela se vérifie dans le
cas déployé auquel cas G = GL n et on prend pour P i le stabilisateur de la droite
k.e i pour i = 1, . . . , n. Alors P 1 ∩ · · · ∩ P n est le k-tore diagonal maximal (G m ) n
de G; on a L ie((G m ) n ) = L ie(P 1 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n ) qui est de dimension n =
n 2 − n(n − 1) = dim(G) − n dim(Y ).
(i) ⇒ (ii). Si A L est déployée, alors G L ∼ = GL n,L et Y (L) = ∅. Le
Lemme 3.2.4 montre qu’il existe [P ] ∈ Y (L) et un k-tore T de dimension n satisfaisant
T = P ∩ σ 2 P · · ·∩ σ n P . Par descente, on a un isomorphisme
P ⊕· · ·⊕
( σ n P )
∼
−→
T L .
Vu que Γ agit par permutation sur ces facteurs, on a en fait un isomorphisme de
Γ -modules Z[Γ ]
∼
−→
T .
(ii) ⇒ (i). Soit T un k-tore maximal de GL 1 (A) isomorphe à R L/k (G m ). Alors
T L est déployé et par suite, L/k déploie GL 1 (A). Ainsi Y (L) = ∅ et le théorème de
Châtelet permet de conclure que L/k déploie A.
Remarque 3.2.7 Noter que (i) est équivalent à l’existence d’un plongement de L
dans A [14, IV.1.14].
3.2.4 Cas quadratique
On suppose ici que L/k est quadratique; on note Γ = {1, σ }. Nous généralisons
et précisons un lemme de Platonov-Rapinchuk [149, lemma 6.17’ p. 383] appelé
communément « quadratic trick ».
Soient G un k-groupe réductif et Y une L-varieté de sous-groupes paraboliques de G L géométriquement intègre et auto-opposée. On pose Z = R L/k (Y ).
L’ouvert V L de Z L ∼ = Y L × σ Y L formé des sous-groupes paraboliques opposés
[60, XXVI.4.3.4] se descend en un ouvert V de Z. On appelle V l’ouvert de
« transversalité » de Z = R L/k (Y ). Le k-groupe G agit sur V et en fait un espace
homogène en vertu de l’énoncé suivant.
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Proposition 3.2.6 Soient A une algèbre simple centrale de degré n et L/k une
extension finie de corps séparable de degré n. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) A ⊗ k L est déployée;
(ii) Le k-groupe GL 1 (A) admet un k-tore maximal T isomorphe à R L/k (G m ).
Démonstration On commence par le cas A = M n (k). Alors (i) vaut et (ii) aussi.
En effet, le choix d’une k-base de L donne lieu à un isomorphisme GL n ∼ = GL(L);
la multiplication de L produit un plongement R L/k (G m ) )→ GL(L) de R L/k (G m )
comme tore maximal. Ce premier cas permet d’écarter le cas d’un corps fini. On
suppose donc k infini dans la suite.
On prend comme variété Y/L la variété de Severi–Brauer de A ⊗ k L dont on
va montrer que la condition de transversalité est satisfaite. Cela se vérifie dans le
cas déployé auquel cas G = GL n et on prend pour P i le stabilisateur de la droite
k.e i pour i = 1, . . . , n. Alors P 1 ∩ · · · ∩ P n est le k-tore diagonal maximal (G m ) n
de G; on a L ie((G m ) n ) = L ie(P 1 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n ) qui est de dimension n =
n 2 − n(n − 1) = dim(G) − n dim(Y ).
(i) ⇒ (ii). Si A L est déployée, alors G L ∼ = GL n,L et Y (L) = ∅. Le
Lemme 3.2.4 montre qu’il existe [P ] ∈ Y (L) et un k-tore T de dimension n satisfaisant
T = P ∩ σ 2 P · · ·∩ σ n P . Par descente, on a un isomorphisme
P ⊕· · ·⊕
( σ n P )
∼
−→
T L .
Vu que Γ agit par permutation sur ces facteurs, on a en fait un isomorphisme de
Γ -modules Z[Γ ]
∼
−→
T .
(ii) ⇒ (i). Soit T un k-tore maximal de GL 1 (A) isomorphe à R L/k (G m ). Alors
T L est déployé et par suite, L/k déploie GL 1 (A). Ainsi Y (L) = ∅ et le théorème de
Châtelet permet de conclure que L/k déploie A.
Remarque 3.2.7 Noter que (i) est équivalent à l’existence d’un plongement de L
dans A [14, IV.1.14].
3.2.4 Cas quadratique
On suppose ici que L/k est quadratique; on note Γ = {1, σ }. Nous généralisons
et précisons un lemme de Platonov-Rapinchuk [149, lemma 6.17’ p. 383] appelé
communément « quadratic trick ».
Soient G un k-groupe réductif et Y une L-varieté de sous-groupes paraboliques de G L géométriquement intègre et auto-opposée. On pose Z = R L/k (Y ).
L’ouvert V L de Z L ∼ = Y L × σ Y L formé des sous-groupes paraboliques opposés
[60, XXVI.4.3.4] se descend en un ouvert V de Z. On appelle V l’ouvert de
« transversalité » de Z = R L/k (Y ). Le k-groupe G agit sur V et en fait un espace
homogène en vertu de l’énoncé suivant.