3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
41
On note P → Y le sous-groupe parabolique universel de G × k Y . Le Z × k Lsous-schéma en groupes de G × k Z L
(P × Y Z L ) × Z L (
σ 2 P × σ 2Y Z L ) × Z L · · · × Z L (
σ n P ×σn Y Z L )
se descend en un sous Z-schéma en groupes H de G × k Z.
Lemme 3.2.4 On suppose qu’il existe une extension F de L et des F -paraboliques
[P 1 ], . . . , [P n ] ∈ Y (F ) tels que dim(G) − dim
L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩
L ie(P n )
= n dim(Y ).
(1) H k(Z) est lisse de dimension dim(G) − n dim(Y ).
(2) On suppose que P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif.
(i) Il existe un ouvert dense V de Z sur lequel H est réductif de même type que
P 1 ∩ · · · ∩ P n .
(ii) Si k est infini et Y (L) = ∅, alors il existe [P ] ∈ Y (L) et un sous k-groupe
réductif H de G tel que H L = P ∩ σ 2 P · · ·∩ σ n P . En outre, H est de même
type que P 1 ∩ · · · ∩ P n .
Démonstration On fait le le lien avec le paragraphe précédent en posant X 1 = Y ,
. . ., X 2 = σ 2 Y , . . ., X n = σ n Y et X = X 1 × L X 2 × L · · · × L X n . Alors Z L = X et
H × k L = J.
(1) D’après le Lemme 3.2.3, J L(X) est lisse de dimension dim(G)−n dim(Y ), donc
H k(Z) est lisse de dimension dim(G) − n dim(Y ).
(2) (i) Si P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif, le Lemme 3.2.3 montre que J L(X) est réductif
de même type que P 1 ∩ · · · ∩ P n . Il en est donc de même de H/k(X).
(ii) La méthode est la même qu’au Lemme 3.2.1.
Remarques 3.2.5
(a) Dans le lemme, on a codim G (H ) ≤ n codim G L (P ) = n dim(Y ). Notant
Φ(G) (resp. Φ(P r´ ed )) le système de racines absolu de G (resp. de P r´ ed ), la
décomposition de Bruhat montre que dim(Y ) =
r´ ed )
2
. Par suite, on a
l’inégalité codim G (H ) ≤
n
2
Φ(G) − Φ(P r´ ed )
.
(b) Noter que l’hypothèse de transversalité du lemme est de nature géométrique et
peut donc se vérifier sur la clôture algébrique de L.
3.2.3 L’exemple du groupe linéaire
Par cette méthode, on obtient le fait suivant sur les algèbres simples centrales.
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On note P → Y le sous-groupe parabolique universel de G × k Y . Le Z × k Lsous-schéma en groupes de G × k Z L
(P × Y Z L ) × Z L (
σ 2 P × σ 2Y Z L ) × Z L · · · × Z L (
σ n P ×σn Y Z L )
se descend en un sous Z-schéma en groupes H de G × k Z.
Lemme 3.2.4 On suppose qu’il existe une extension F de L et des F -paraboliques
[P 1 ], . . . , [P n ] ∈ Y (F ) tels que dim(G) − dim
L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩
L ie(P n )
= n dim(Y ).
(1) H k(Z) est lisse de dimension dim(G) − n dim(Y ).
(2) On suppose que P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif.
(i) Il existe un ouvert dense V de Z sur lequel H est réductif de même type que
P 1 ∩ · · · ∩ P n .
(ii) Si k est infini et Y (L) = ∅, alors il existe [P ] ∈ Y (L) et un sous k-groupe
réductif H de G tel que H L = P ∩ σ 2 P · · ·∩ σ n P . En outre, H est de même
type que P 1 ∩ · · · ∩ P n .
Démonstration On fait le le lien avec le paragraphe précédent en posant X 1 = Y ,
. . ., X 2 = σ 2 Y , . . ., X n = σ n Y et X = X 1 × L X 2 × L · · · × L X n . Alors Z L = X et
H × k L = J.
(1) D’après le Lemme 3.2.3, J L(X) est lisse de dimension dim(G)−n dim(Y ), donc
H k(Z) est lisse de dimension dim(G) − n dim(Y ).
(2) (i) Si P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif, le Lemme 3.2.3 montre que J L(X) est réductif
de même type que P 1 ∩ · · · ∩ P n . Il en est donc de même de H/k(X).
(ii) La méthode est la même qu’au Lemme 3.2.1.
Remarques 3.2.5
(a) Dans le lemme, on a codim G (H ) ≤ n codim G L (P ) = n dim(Y ). Notant
Φ(G) (resp. Φ(P r´ ed )) le système de racines absolu de G (resp. de P r´ ed ), la
décomposition de Bruhat montre que dim(Y ) =
r´ ed )
2
. Par suite, on a
l’inégalité codim G (H ) ≤
n
2
Φ(G) − Φ(P r´ ed )
.
(b) Noter que l’hypothèse de transversalité du lemme est de nature géométrique et
peut donc se vérifier sur la clôture algébrique de L.
3.2.3 L’exemple du groupe linéaire
Par cette méthode, on obtient le fait suivant sur les algèbres simples centrales.