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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Nous allons étudier le cas d’une « intersection transversale ».
Lemme 3.2.3 On suppose qu’il existe une extension de corps F/L et des groupes
paraboliques [P 1 ] ∈ X 1 (F ), · · · , [P n ] ∈ X n (F ) tels que
dim(G) − dim
L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n )
= codim G F (P 1 ) + · · · + codim G F (P n ).
Alors J L(X) est lisse de dimension dim(G) − codim G L (P 1 ) − · · · − codim G L (P n ).
Si de plus P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif, alors J k(X) est réductif de même type que
P 1 ∩ · · · ∩ P n .
L’hypothèse du lemme signifie que P 1 , . . . , P n s’intersectent de façon transversale, c’est la raison pour laquelle cette condition est appelée dans la suite « condition
de transversalité ».
Démonstration On considère le F -morphisme d’orbite
f : G F → X = X 1 × F X 2 · · · × F X n , g → (g.[P 1 ], g.[P 2 ], . . . , g.[P n ]) .
Sa différentielle à l’origine est le morphisme naturel
D : L ie(G F ) → L ie(G F )/L ie(P 1 ) ⊕ · · · ⊕ L ie(G F )/L ie(P n ),
dont le noyau est L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n ). Notre hypothèse implique
que D est un isomorphisme. Ainsi f est étale au voisinage de l’origine; il existe
un voisinage ouvert W de G F tel que f (W) est ouvert dans X. Par suite, J est
lisse au dessous de f (W) et en particulier J k(X) est lisse de dimension dim(G) −
codim G L (P 1 ) − · · · − codim G L (P n ).
On suppose de plus que P 1 ∩· · ·∩P n est réductif. Le point est que P 1 ∩· · ·∩P n est
la spécialisation de J → X au F -point x = f (1). Comme la propriété « réductif »
est ouverte [60, XIX.2.6], il suit que J est réductif de même type que P 1 ∩ · · · ∩ P n
au voisinage de x. On conclut que J k(X) est réductif de même type que P 1 ∩· · ·∩P n .
3.2.2 Descente d’intersection transversale de sous-groupes
paraboliques
Soit maintenant Y une variété de L-sous-groupes paraboliques de G supposée
géométriquement connexe. On pose Z = R L/k (Y ) et on a une décomposition
Z × k L
∼
−→ Y × L
σ 2 Y × L · · · × k
σ n Y .
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Nous allons étudier le cas d’une « intersection transversale ».
Lemme 3.2.3 On suppose qu’il existe une extension de corps F/L et des groupes
paraboliques [P 1 ] ∈ X 1 (F ), · · · , [P n ] ∈ X n (F ) tels que
dim(G) − dim
L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n )
= codim G F (P 1 ) + · · · + codim G F (P n ).
Alors J L(X) est lisse de dimension dim(G) − codim G L (P 1 ) − · · · − codim G L (P n ).
Si de plus P 1 ∩ · · · ∩ P n est réductif, alors J k(X) est réductif de même type que
P 1 ∩ · · · ∩ P n .
L’hypothèse du lemme signifie que P 1 , . . . , P n s’intersectent de façon transversale, c’est la raison pour laquelle cette condition est appelée dans la suite « condition
de transversalité ».
Démonstration On considère le F -morphisme d’orbite
f : G F → X = X 1 × F X 2 · · · × F X n , g → (g.[P 1 ], g.[P 2 ], . . . , g.[P n ]) .
Sa différentielle à l’origine est le morphisme naturel
D : L ie(G F ) → L ie(G F )/L ie(P 1 ) ⊕ · · · ⊕ L ie(G F )/L ie(P n ),
dont le noyau est L ie(P 1 ) ∩ L ie(P 2 ) ∩ · · · ∩ L ie(P n ). Notre hypothèse implique
que D est un isomorphisme. Ainsi f est étale au voisinage de l’origine; il existe
un voisinage ouvert W de G F tel que f (W) est ouvert dans X. Par suite, J est
lisse au dessous de f (W) et en particulier J k(X) est lisse de dimension dim(G) −
codim G L (P 1 ) − · · · − codim G L (P n ).
On suppose de plus que P 1 ∩· · ·∩P n est réductif. Le point est que P 1 ∩· · ·∩P n est
la spécialisation de J → X au F -point x = f (1). Comme la propriété « réductif »
est ouverte [60, XIX.2.6], il suit que J est réductif de même type que P 1 ∩ · · · ∩ P n
au voisinage de x. On conclut que J k(X) est réductif de même type que P 1 ∩· · ·∩P n .
3.2.2 Descente d’intersection transversale de sous-groupes
paraboliques
Soit maintenant Y une variété de L-sous-groupes paraboliques de G supposée
géométriquement connexe. On pose Z = R L/k (Y ) et on a une décomposition
Z × k L
∼
−→ Y × L
σ 2 Y × L · · · × k
σ n Y .