3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
39
(resp. G ). Soit (B q , T q ) un couple de Killing (resp. (B , T )) de G q (resp. G q ).
Alors les tores T et T q sont isomorphes.
Démonstration Par « rigidité » (Lemme 1.2.1), on peut remplacer k par une
extension régulière et en particulier supposer que G et G sont quasi-déployés. Soit
S un k-tore déployé maximal de G . Alors S est contenu dans un k-tore déployé
maximal S de G. Alors T = C G (S) est un k-tore maximal de G et de même
T = C G (S ) est un k-tore maximal de G . Or T ⊂ T , donc T = T .
3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
Soit G un k-groupe réductif. Soit L/k une extension galoisienne de corps de groupe
Γ = G al(L/k) = {1, σ 2 , . . . , σ n }.
3.2.1 Intersection générique de sous-groupes paraboliques
Soient X 1 , . . . , X n des L-variétés de sous-groupes paraboliques supposées géométriquement connexes. On pose X = X 1 × L X 2 × L · · · × L X n . Pour chaque
j = 1, . . . , n, on note P j → X j le sous-groupe parabolique universel de G × k X j .
On forme alors le X-sous-schéma en groupes de G × k X
J = (P 1 × X 1 X) × X (P 2 × X 2 X) × X · · · × X (P n × X n X).
Lemme 3.2.1 On suppose que J L(X) est réductif.
(1) Il existe un ouvert dense U de X tel que J × X U est réductif de même type que
J L(X) .
(2) Si k est infini et X(L) = ∅, alors il existe [P 1 ] ∈ X 1 (L),. . .,[P n ] ∈ X n (L) tels
que le L-groupe J = P 1 ∩ P 2 · · · ∩ P n soit réductif de même type que J L(X) .
Démonstration
(1) Tout d’abord, il existe un ouvert dense V de X sur lequel J est lisse [90,
IV 2 .6.8.7]. Ensuite, encore par propriété de limites [51, cor. 3.1.11], il existe un
ouvert dense U ⊂ V sur lequel J est réductif. Comme U est connexe, J × X U
est réductif de même type que J L(X) .
(2) Le point est que X est une variété k-rationnelle [19, th. 21.20] de sorte que
U(k) est Zariski-dense dans X. En prenant la fibre de J en un point u ∈ U(k),
on obtient [P 1 ] ∈ X 1 (L), . . . , [P n ] ∈ X n (L) tels que J = P 1 ∩ P 2 · · · ∩ P n soit
réductif de même type que J L(X) .
Remarque 3.2.2 Dans le lemme, on a codim G L (J ) ≤ codim G L (P 1 ) + · · · +
codim G L (P n ), c’est-à-dire une borne inférieure pour la dimension de J L(X) .
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(resp. G ). Soit (B q , T q ) un couple de Killing (resp. (B , T )) de G q (resp. G q ).
Alors les tores T et T q sont isomorphes.
Démonstration Par « rigidité » (Lemme 1.2.1), on peut remplacer k par une
extension régulière et en particulier supposer que G et G sont quasi-déployés. Soit
S un k-tore déployé maximal de G . Alors S est contenu dans un k-tore déployé
maximal S de G. Alors T = C G (S) est un k-tore maximal de G et de même
T = C G (S ) est un k-tore maximal de G . Or T ⊂ T , donc T = T .
3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder
Soit G un k-groupe réductif. Soit L/k une extension galoisienne de corps de groupe
Γ = G al(L/k) = {1, σ 2 , . . . , σ n }.
3.2.1 Intersection générique de sous-groupes paraboliques
Soient X 1 , . . . , X n des L-variétés de sous-groupes paraboliques supposées géométriquement connexes. On pose X = X 1 × L X 2 × L · · · × L X n . Pour chaque
j = 1, . . . , n, on note P j → X j le sous-groupe parabolique universel de G × k X j .
On forme alors le X-sous-schéma en groupes de G × k X
J = (P 1 × X 1 X) × X (P 2 × X 2 X) × X · · · × X (P n × X n X).
Lemme 3.2.1 On suppose que J L(X) est réductif.
(1) Il existe un ouvert dense U de X tel que J × X U est réductif de même type que
J L(X) .
(2) Si k est infini et X(L) = ∅, alors il existe [P 1 ] ∈ X 1 (L),. . .,[P n ] ∈ X n (L) tels
que le L-groupe J = P 1 ∩ P 2 · · · ∩ P n soit réductif de même type que J L(X) .
Démonstration
(1) Tout d’abord, il existe un ouvert dense V de X sur lequel J est lisse [90,
IV 2 .6.8.7]. Ensuite, encore par propriété de limites [51, cor. 3.1.11], il existe un
ouvert dense U ⊂ V sur lequel J est réductif. Comme U est connexe, J × X U
est réductif de même type que J L(X) .
(2) Le point est que X est une variété k-rationnelle [19, th. 21.20] de sorte que
U(k) est Zariski-dense dans X. En prenant la fibre de J en un point u ∈ U(k),
on obtient [P 1 ] ∈ X 1 (L), . . . , [P n ] ∈ X n (L) tels que J = P 1 ∩ P 2 · · · ∩ P n soit
réductif de même type que J L(X) .
Remarque 3.2.2 Dans le lemme, on a codim G L (J ) ≤ codim G L (P 1 ) + · · · +
codim G L (P n ), c’est-à-dire une borne inférieure pour la dimension de J L(X) .