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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
La Proposition 3.1.7.(2) montre que Aut(G 0 , T 0 ) x (k s ) = N G
0
(T 0 )(k s ).
Aut(G 0 , B 0 , T 0 ) x (k s ) donc la composante G 0,x x.1 ⊂ Y
μ 0
0 est préservée par
l’action de Aut(G 0 , T 0 ) x . Par torsion par z, on conclut que Y
μ
k s
admet une
composante connexe qui se descend à k.
Remarques 3.1.14 Le Lemme 3.1.13.(1) est faux sans l’hypothèse de forme intérieure. On considère le groupe unitaire G = U(n) sur le corps R des nombres réels
avec n ≥ 2. Le tore diagonal T =
R 1
C/R (G m )
n est un tore maximal et il est
le centralisateur de 2 T = μ
n
2 . On note Y la variété des couples de Killing de G
et supposons que (Y )
2 T
C admette une composante connexe Z définie sur R. Alors
T R(Z) = C G ( 2 T ) R(Z) est un tore maximal d’un R(Z)-sous-groupe de Borel de G.
Or T R(Z) est anisotrope (puisque −1 n’est pas un carré dans R(Z)), il s’agit d’une
contradiction.
Le Lemme 3.1.13.(1) est aussi faux sans l’hypothèse de connexité du centralisateur.
En effet supposons que k admette une extension de corps quadratique séparable
K/k; on note σ : K → K la conjugaison. On considère le tore maximal T =
R K/k (G m )/G m de G = PGL 2 ∼ = PGL(K) et on note B un K-sous-groupe de Borel
de G K contenant T K . Alors μ = 2 T est isomorphe à μ 2 , on a T = C G (μ) 0 et
C G (μ) = T Z/2Z. Ainsi Y μ (k s ) consiste en les couples de Killing (B, T ) et
(σ (B), T ). La k-variété Y μ est donc isomorphe à Spec(K), elle est donc connexe
sans être géometriquement connexe.
Proposition 3.1.15 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe
diagonalisable toral. On suppose que le centralisateur G = C G (μ) est connexe et
on note G q sa forme quasi-déployée. Soit (B q , T q ) (resp. (B , T )) un couple de
Killing de G q (resp. de G ). On fait l’une des hypothèses suivantes:
(i) G est une forme intérieure;
(ii) G est semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et
μ = μ n ,
Alors les k-tores T q et T sont isomorphes. En particulier, si G est semi-simple
adjoint (ou simplement connexe, ou plus généralement quasi-trivial), T est un ktore quasi-trivial.
Démonstration
(1) Le Lemme 3.1.13 montre que Y μ admet une sous G -variété homogène
géométriquement connexe Z. Alors Y μ (k(Z)) = ∅ et les k(Z)-tores T
q
k(Z) et
T
k(Z) sont isomorphes. Par « rigidité » (Lemme 1.2.1), les k-tores T q et T
sont isomorphes.
Dans le cas très particulier ci-dessous, la proposition peut être établie à moindre
frais.
Lemme 3.1.16 Soient G un groupe réductif et G un sous-groupe réductif ayant
même rang semi-simple que G. On note G q (G q ) la forme quasi-déployée de G
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
La Proposition 3.1.7.(2) montre que Aut(G 0 , T 0 ) x (k s ) = N G
0
(T 0 )(k s ).
Aut(G 0 , B 0 , T 0 ) x (k s ) donc la composante G 0,x x.1 ⊂ Y
μ 0
0 est préservée par
l’action de Aut(G 0 , T 0 ) x . Par torsion par z, on conclut que Y
μ
k s
admet une
composante connexe qui se descend à k.
Remarques 3.1.14 Le Lemme 3.1.13.(1) est faux sans l’hypothèse de forme intérieure. On considère le groupe unitaire G = U(n) sur le corps R des nombres réels
avec n ≥ 2. Le tore diagonal T =
R 1
C/R (G m )
n est un tore maximal et il est
le centralisateur de 2 T = μ
n
2 . On note Y la variété des couples de Killing de G
et supposons que (Y )
2 T
C admette une composante connexe Z définie sur R. Alors
T R(Z) = C G ( 2 T ) R(Z) est un tore maximal d’un R(Z)-sous-groupe de Borel de G.
Or T R(Z) est anisotrope (puisque −1 n’est pas un carré dans R(Z)), il s’agit d’une
contradiction.
Le Lemme 3.1.13.(1) est aussi faux sans l’hypothèse de connexité du centralisateur.
En effet supposons que k admette une extension de corps quadratique séparable
K/k; on note σ : K → K la conjugaison. On considère le tore maximal T =
R K/k (G m )/G m de G = PGL 2 ∼ = PGL(K) et on note B un K-sous-groupe de Borel
de G K contenant T K . Alors μ = 2 T est isomorphe à μ 2 , on a T = C G (μ) 0 et
C G (μ) = T Z/2Z. Ainsi Y μ (k s ) consiste en les couples de Killing (B, T ) et
(σ (B), T ). La k-variété Y μ est donc isomorphe à Spec(K), elle est donc connexe
sans être géometriquement connexe.
Proposition 3.1.15 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe
diagonalisable toral. On suppose que le centralisateur G = C G (μ) est connexe et
on note G q sa forme quasi-déployée. Soit (B q , T q ) (resp. (B , T )) un couple de
Killing de G q (resp. de G ). On fait l’une des hypothèses suivantes:
(i) G est une forme intérieure;
(ii) G est semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et
μ = μ n ,
Alors les k-tores T q et T sont isomorphes. En particulier, si G est semi-simple
adjoint (ou simplement connexe, ou plus généralement quasi-trivial), T est un ktore quasi-trivial.
Démonstration
(1) Le Lemme 3.1.13 montre que Y μ admet une sous G -variété homogène
géométriquement connexe Z. Alors Y μ (k(Z)) = ∅ et les k(Z)-tores T
q
k(Z) et
T
k(Z) sont isomorphes. Par « rigidité » (Lemme 1.2.1), les k-tores T q et T
sont isomorphes.
Dans le cas très particulier ci-dessous, la proposition peut être établie à moindre
frais.
Lemme 3.1.16 Soient G un groupe réductif et G un sous-groupe réductif ayant
même rang semi-simple que G. On note G q (G q ) la forme quasi-déployée de G