3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs centralisateurs
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l’immersion ι est un isomorphisme. Cette décomposition est clairement préservée
par N G (T ).
Lemme 3.1.13 Soit G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe diagonalisable toral de G. On suppose que C G (μ) est connexe et on pose G = C G (μ). On
note Y la variété des couples de Killing de G.
(1) Si G est une forme intérieure, alors les composantes connexes de Y
μ
k s
se
descendent sur k.
(2) Si G est semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et μ =
μ n , alors au moins une composante connexe de Y
μ
k s
se descend à k.
Démonstration
(1) Soit T un k-tore maximal de G . Soit G 0 la forme déployée de G munie d’un
k-tore déployé maximal T 0 . On pose W 0 = N G 0 (T 0 ), W
0 = N G
0
(T 0 )/T 0 . Par
ailleurs il existe un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 ) k s
∼
−→ (G, T ) k s tel que le
1-cocycle z σ = φ −1 σ (φ) appartient à G 0,ad (k s ). On note μ 0,k s = φ −1 (μ k s ),
c’est un k s -sous-groupe de type multiplicatif de T 0,k s , il admet donc une unique
k-forme μ 0 ⊂ T 0 . Ainsi φ est un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 , μ 0 ) k s
∼
−→
(G, T , μ) k s induisant un k-isomorphisme μ 0
∼
−→ μ. Par descente galoisienne,
φ induit un k-isomorphisme ( z G 0 , z T 0 , z μ 0 )
∼
−→ (G, T , μ) et le cocycle z est
à valeurs dans C G 0,ad (μ 0 ). Ce cocycle z induit un homomorphisme ψ : Γ k →
W
0 ⊂ W 0 .
Le Lemme 3.1.12 appliqué à μ 0 et G 0 montre que l’ensemble des composantes connexes de Y
μ 0
0 est paramétré par W
0 \ W 0 de façon C G 0,ad (μ 0 )équivariante. Une composante Z 0 ⊂ Y 0 attachée à w 0 ∈ W 0 se descend à Y
si et seulement si [w 0 ] ∈ W
0 \W 0 est fixe par l’action du groupe de Galois Γ k ,
c’est-à-dire si
ψ(σ )w 0 ∈ W
0 w 0 ∀ σ ∈ Γ k .
Or ψ est à valeurs dans W
0 , donc toutes les composantes sont définies sur k.
(2) On a μ = μ n . Soit G 0 la forme déployée de G munie d’un k-tore déployé
maximal T 0 . On pose W 0 = N G 0 (T 0 ), W
0 = N G
0
(T 0 )/T 0 . Par ailleurs il existe
un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 ) k s
∼
−→ (G, T ) k s tel que le 1-cocycle z σ =
φ −1 σ (φ) appartient à G 0,ad (k s ). On note μ 0,k s = φ −1 (μ k s ), c’est un k s -sousgroupe de type multiplicatif de T 0,k s , il admet donc une unique k-forme μ 0 ⊂
T 0 . Suivant le Théorème 3.1.6, ce plongement définit un point x de (
T 0 ) 0 ⊗ Z
Q/
T 0 .
Ainsi φ est un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 , μ 0 ) k s
∼
−→ (G, T , μ) k s
induisant un k-isomorphisme μ 0
∼
−→ μ. Par descente galoisienne, φ induit
un k-isomorphisme ( z G 0 , z T 0 , z μ 0 )
∼
−→ (G, T , μ) et le cocycle z est à valeurs
dans Aut(G 0 , T 0 ) x .
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l’immersion ι est un isomorphisme. Cette décomposition est clairement préservée
par N G (T ).
Lemme 3.1.13 Soit G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe diagonalisable toral de G. On suppose que C G (μ) est connexe et on pose G = C G (μ). On
note Y la variété des couples de Killing de G.
(1) Si G est une forme intérieure, alors les composantes connexes de Y
μ
k s
se
descendent sur k.
(2) Si G est semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et μ =
μ n , alors au moins une composante connexe de Y
μ
k s
se descend à k.
Démonstration
(1) Soit T un k-tore maximal de G . Soit G 0 la forme déployée de G munie d’un
k-tore déployé maximal T 0 . On pose W 0 = N G 0 (T 0 ), W
0 = N G
0
(T 0 )/T 0 . Par
ailleurs il existe un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 ) k s
∼
−→ (G, T ) k s tel que le
1-cocycle z σ = φ −1 σ (φ) appartient à G 0,ad (k s ). On note μ 0,k s = φ −1 (μ k s ),
c’est un k s -sous-groupe de type multiplicatif de T 0,k s , il admet donc une unique
k-forme μ 0 ⊂ T 0 . Ainsi φ est un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 , μ 0 ) k s
∼
−→
(G, T , μ) k s induisant un k-isomorphisme μ 0
∼
−→ μ. Par descente galoisienne,
φ induit un k-isomorphisme ( z G 0 , z T 0 , z μ 0 )
∼
−→ (G, T , μ) et le cocycle z est
à valeurs dans C G 0,ad (μ 0 ). Ce cocycle z induit un homomorphisme ψ : Γ k →
W
0 ⊂ W 0 .
Le Lemme 3.1.12 appliqué à μ 0 et G 0 montre que l’ensemble des composantes connexes de Y
μ 0
0 est paramétré par W
0 \ W 0 de façon C G 0,ad (μ 0 )équivariante. Une composante Z 0 ⊂ Y 0 attachée à w 0 ∈ W 0 se descend à Y
si et seulement si [w 0 ] ∈ W
0 \W 0 est fixe par l’action du groupe de Galois Γ k ,
c’est-à-dire si
ψ(σ )w 0 ∈ W
0 w 0 ∀ σ ∈ Γ k .
Or ψ est à valeurs dans W
0 , donc toutes les composantes sont définies sur k.
(2) On a μ = μ n . Soit G 0 la forme déployée de G munie d’un k-tore déployé
maximal T 0 . On pose W 0 = N G 0 (T 0 ), W
0 = N G
0
(T 0 )/T 0 . Par ailleurs il existe
un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 ) k s
∼
−→ (G, T ) k s tel que le 1-cocycle z σ =
φ −1 σ (φ) appartient à G 0,ad (k s ). On note μ 0,k s = φ −1 (μ k s ), c’est un k s -sousgroupe de type multiplicatif de T 0,k s , il admet donc une unique k-forme μ 0 ⊂
T 0 . Suivant le Théorème 3.1.6, ce plongement définit un point x de (
T 0 ) 0 ⊗ Z
Q/
T 0 .
Ainsi φ est un k s -isomorphisme φ : (G 0 , T 0 , μ 0 ) k s
∼
−→ (G, T , μ) k s
induisant un k-isomorphisme μ 0
∼
−→ μ. Par descente galoisienne, φ induit
un k-isomorphisme ( z G 0 , z T 0 , z μ 0 )
∼
−→ (G, T , μ) et le cocycle z est à valeurs
dans Aut(G 0 , T 0 ) x .