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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
(2) Soit H un sous-groupe réductif de G maximal parmi les sous-groupes réductifs
non exotiques contenant T . Alors Φ(H, T ) est une partie close symétrique
maximale de Φ(G, T ); le Lemme 3.1.10 indique qu’il existe x de type (i) ou
(ii) et w ∈ W tel que Φ(H, T ) = w Φ(G x , T ). Soit n w ∈ N G (T )(k) un relevé
de w. Alors Φ(H, T ) = Φ( n w G x , T ) d’où H = n w G x
Remarque 3.1.11 En petite caractéristique, il existe des sous-groupes exotiques et
la classification des groupes sous-groupes réductifs maximaux de G contenant T
est plus complexe [146]. Ceci étant, en caractéristique = 2, 3, la Proposition 3.1.9
donne la classification des sous-groupes réductifs maximaux de G contenant T En
caractéristique 2, cette classification vaut pour les types distincts de B n , C n , F 4 , G 2
et en caractéristique 3 pour tous les types excepté G 2 .
3.1.3 Points fixes sur la variété des couples de Killing
Lemme 3.1.12 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe
diagonalisable toral de G. On suppose qu’il existe un k-tore maximal déployé T
de G contenant μ. On pose G = C G (μ) 0 ; on note B un sous-groupe de Borel de G
contenant T . On note Y la variété (affine) des k-sous-groupes de Killing de G [60,
XXII.5.8.3]. On note W = N G (T )/T et W = N G (T )/T . Pour chaque w ∈ W ,
on note z w le k-point n w .y 0 de G/T
∼
−→ Y , où y 0 = [(B, T )] désigne le k-point
privilégié de Y .
Les G -orbites sur (G/T ) μ ∼ = Y μ sont les G .z w pour w parcourant W \W . En
particulier, on a
[w]∈W \W
G
.z w = (G/T )
μ
= Y
μ .
De plus l’action du groupe N G (T ) préserve chaque terme de cette décomposition.
Démonstration Il est évidemment loisible de supposer k algébriquement clos. Soit
B un sous-groupe de Borel de G contenant T . Il définit le point 1 = [(B, T )]
de Y μ (k). Alors l’orbite G → Y , g → g.1 induit un G-isomorphisme. Pour la
suite, il est loisible de supposer k-algébriquement clos. Pour chaque w ∈ W , le
stabilisateur de z w dans G est T , ainsi les orbites G .z w sont lisses de dimension
dim(G ) − dim k (T ). Ainsi deux orbites G .z w 1 et G .z w 2 sont soit identiques, soit
disjointes. Si z w 1 ∈ G .z w 2 , alors il existe g ∈ G tel que [n w 1 T ] = [g n w 2 T ]. Par
suite n −1
w 1
g n w 2 ∈ T (k) de sorte que g ∈ N G (T )(k) et w 1 = w w 2 avec w ∈ W .
Ainsi G .z w 1 = G .z w 2 si et seulement si w 1 ∈ W w 2 . On a donc une immersion
ι :
[w]∈W \W
G .z w → (G/T ) μ entre variétés lisses.
Soit z = [gT ] ∈ (G/T ) μ (k) avec g ∈ G(k). Alors g T est un sous-tore
maximal de G = C G (μ) 0 donc il existe g ∈ G (k) tel que g T = g T . Ainsi
g −1 g ∈ N G (T )(k) donc z = g z w pour w ∈ W . Ainsi z ∈ G z w . Ceci montre que
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
(2) Soit H un sous-groupe réductif de G maximal parmi les sous-groupes réductifs
non exotiques contenant T . Alors Φ(H, T ) est une partie close symétrique
maximale de Φ(G, T ); le Lemme 3.1.10 indique qu’il existe x de type (i) ou
(ii) et w ∈ W tel que Φ(H, T ) = w Φ(G x , T ). Soit n w ∈ N G (T )(k) un relevé
de w. Alors Φ(H, T ) = Φ( n w G x , T ) d’où H = n w G x
Remarque 3.1.11 En petite caractéristique, il existe des sous-groupes exotiques et
la classification des groupes sous-groupes réductifs maximaux de G contenant T
est plus complexe [146]. Ceci étant, en caractéristique = 2, 3, la Proposition 3.1.9
donne la classification des sous-groupes réductifs maximaux de G contenant T En
caractéristique 2, cette classification vaut pour les types distincts de B n , C n , F 4 , G 2
et en caractéristique 3 pour tous les types excepté G 2 .
3.1.3 Points fixes sur la variété des couples de Killing
Lemme 3.1.12 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe
diagonalisable toral de G. On suppose qu’il existe un k-tore maximal déployé T
de G contenant μ. On pose G = C G (μ) 0 ; on note B un sous-groupe de Borel de G
contenant T . On note Y la variété (affine) des k-sous-groupes de Killing de G [60,
XXII.5.8.3]. On note W = N G (T )/T et W = N G (T )/T . Pour chaque w ∈ W ,
on note z w le k-point n w .y 0 de G/T
∼
−→ Y , où y 0 = [(B, T )] désigne le k-point
privilégié de Y .
Les G -orbites sur (G/T ) μ ∼ = Y μ sont les G .z w pour w parcourant W \W . En
particulier, on a
[w]∈W \W
G
.z w = (G/T )
μ
= Y
μ .
De plus l’action du groupe N G (T ) préserve chaque terme de cette décomposition.
Démonstration Il est évidemment loisible de supposer k algébriquement clos. Soit
B un sous-groupe de Borel de G contenant T . Il définit le point 1 = [(B, T )]
de Y μ (k). Alors l’orbite G → Y , g → g.1 induit un G-isomorphisme. Pour la
suite, il est loisible de supposer k-algébriquement clos. Pour chaque w ∈ W , le
stabilisateur de z w dans G est T , ainsi les orbites G .z w sont lisses de dimension
dim(G ) − dim k (T ). Ainsi deux orbites G .z w 1 et G .z w 2 sont soit identiques, soit
disjointes. Si z w 1 ∈ G .z w 2 , alors il existe g ∈ G tel que [n w 1 T ] = [g n w 2 T ]. Par
suite n −1
w 1
g n w 2 ∈ T (k) de sorte que g ∈ N G (T )(k) et w 1 = w w 2 avec w ∈ W .
Ainsi G .z w 1 = G .z w 2 si et seulement si w 1 ∈ W w 2 . On a donc une immersion
ι :
[w]∈W \W
G .z w → (G/T ) μ entre variétés lisses.
Soit z = [gT ] ∈ (G/T ) μ (k) avec g ∈ G(k). Alors g T est un sous-tore
maximal de G = C G (μ) 0 donc il existe g ∈ G (k) tel que g T = g T . Ainsi
g −1 g ∈ N G (T )(k) donc z = g z w pour w ∈ W . Ainsi z ∈ G z w . Ceci montre que