3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs centralisateurs
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On se donne une section s : Aut(Φ, Δ) → Aut(G, B, T ) → Aut(G). Si d ∈
Aut(Φ, Δ) x , alors x = s(d).x et la section s induit une section s x : Aut(Φ, Δ) x →
Aut(G, B, T ) x ⊂ Aut(G, B, T ).
Remarque 3.1.8 Les choix de sections de Aut(G) → Aut(Δ) dépendent du choix
d’un épinglage [60, XXIV.1.5].
Dans ce contexte, la description de Borel/de Siebenthal [20] de certains sousgroupes réductifs maximaux de G prend la forme suivante.
Proposition 3.1.9 (Borel/de Siebenthal)
(1) Soit x ∈ F . Le k-sous-groupe G x de G est maximal parmi les sous-groupes
réductifs non exotiques de G (§2.3.1) de G si et seulement si x est de l’un des
deux types suivants:
(i) x α 0 = x 1 , x α = 1 −x 1 pour x 1 ∈]0, 1[∩Q pour un certain α ∈ Δ et x β = 0
pour β ∈ Δ \ {α}. et α ∈ Δ satisfaisant c α = 1;
(ii) x α =
1
c α
pour un certain α ∈ Δ tel que c α est premier et x β = 0 pour
β ∈
Δ \ {α}.
Dans le cas (i), il s’agit du k-sous-groupe de Levi contenant T . du sous-groupe
parabolique standard de G de type Δ \ {α}. Dans le cas (ii), H est semi-simple
de type
Δ \ {α}.
(2) Soit H un sous-groupe réductif de G maximal parmi les sous-groupes réductifs
non exotiques contenant T . alors H est N G (T )(k)-conjugué à G x pour x de
type (i) ou (ii).
Rappelons que dans l’assertion (2), non exotique signifie que Φ(H, T ) est une
partie close de Φ(G, T ), On a besoin bien sûr d’un énoncé correspondant pour les
systèmes de racines.
Lemme 3.1.10 ([28, VI.4, exercice 4]) Soit R une partie close symétrique de Φ =
Φ(G, T ). Alors la partie R est maximale (parmi les parties closes symétriques)
dans Φ = Φ(G, T ) si et seulement si:
(1) si R n’engendre pas
T ⊗ Z Q, alors il existe (un unique) α ∈ Δ tel que R est
W -conjugué à la partie close de Φ engendrée par Δ \ {α} et c α = 1.
(2) Si R engendre
T ⊗ Z Q, alors il existe (un unique) x ∈ F de type (ii) tel que R
est W -conjugué à la partie symétrique close engendrée par Δ x .
Nous passons maintenant à la démonstration de la Proposition 3.1.9.
Démonstration
(1) Le k-sous-groupe G x de G est maximal parmi les sous-groupes réductifs non
exotiques de G si et seulement Φ(G x , T ) est partie close symétrique maximale
de Φ(G, T ). Le Lemme 3.1.10 indique que cette condition est équivalente à ce
que l’élément x soit de type (i) ou (ii).
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On se donne une section s : Aut(Φ, Δ) → Aut(G, B, T ) → Aut(G). Si d ∈
Aut(Φ, Δ) x , alors x = s(d).x et la section s induit une section s x : Aut(Φ, Δ) x →
Aut(G, B, T ) x ⊂ Aut(G, B, T ).
Remarque 3.1.8 Les choix de sections de Aut(G) → Aut(Δ) dépendent du choix
d’un épinglage [60, XXIV.1.5].
Dans ce contexte, la description de Borel/de Siebenthal [20] de certains sousgroupes réductifs maximaux de G prend la forme suivante.
Proposition 3.1.9 (Borel/de Siebenthal)
(1) Soit x ∈ F . Le k-sous-groupe G x de G est maximal parmi les sous-groupes
réductifs non exotiques de G (§2.3.1) de G si et seulement si x est de l’un des
deux types suivants:
(i) x α 0 = x 1 , x α = 1 −x 1 pour x 1 ∈]0, 1[∩Q pour un certain α ∈ Δ et x β = 0
pour β ∈ Δ \ {α}. et α ∈ Δ satisfaisant c α = 1;
(ii) x α =
1
c α
pour un certain α ∈ Δ tel que c α est premier et x β = 0 pour
β ∈
Δ \ {α}.
Dans le cas (i), il s’agit du k-sous-groupe de Levi contenant T . du sous-groupe
parabolique standard de G de type Δ \ {α}. Dans le cas (ii), H est semi-simple
de type
Δ \ {α}.
(2) Soit H un sous-groupe réductif de G maximal parmi les sous-groupes réductifs
non exotiques contenant T . alors H est N G (T )(k)-conjugué à G x pour x de
type (i) ou (ii).
Rappelons que dans l’assertion (2), non exotique signifie que Φ(H, T ) est une
partie close de Φ(G, T ), On a besoin bien sûr d’un énoncé correspondant pour les
systèmes de racines.
Lemme 3.1.10 ([28, VI.4, exercice 4]) Soit R une partie close symétrique de Φ =
Φ(G, T ). Alors la partie R est maximale (parmi les parties closes symétriques)
dans Φ = Φ(G, T ) si et seulement si:
(1) si R n’engendre pas
T ⊗ Z Q, alors il existe (un unique) α ∈ Δ tel que R est
W -conjugué à la partie close de Φ engendrée par Δ \ {α} et c α = 1.
(2) Si R engendre
T ⊗ Z Q, alors il existe (un unique) x ∈ F de type (ii) tel que R
est W -conjugué à la partie symétrique close engendrée par Δ x .
Nous passons maintenant à la démonstration de la Proposition 3.1.9.
Démonstration
(1) Le k-sous-groupe G x de G est maximal parmi les sous-groupes réductifs non
exotiques de G si et seulement Φ(G x , T ) est partie close symétrique maximale
de Φ(G, T ). Le Lemme 3.1.10 indique que cette condition est équivalente à ce
que l’élément x soit de type (i) ou (ii).