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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Cas 1 x α 0 > 0. Si β ∈ Φ + , vu que n α ≤ c α et
α∈Δ x α = 1 − x α 0 < 1, on
a
α∈Δ x α
n α
c α
= 0 ∈ Q/Z si et seulement si β est une somme à coefficients
positifs entiers d’éléments de Δ x . De même, un élément de Φ − qui appartient
à Φ x est une somme à coefficients entiers ≤ 0 d’élements de Δ x .
Cas 2 x α 0 = 0. Vu que −α 0 =
α∈Δ c α α, on a
β ◦ f x =
α∈Δ x α
c α
c α
=
1 = 0 ∈ Q/Z donc −α 0 ∈ Φ x . On a donc Δ x ⊂ Φ x . Si β ∈ Φ + , on réécrit
l’expression ci-dessus en
β ◦ f x =
α∈Δ
x α
n α − c α
c α
∈ Q/Z.
Si β ∈ Φ + \ {−β 0 }, l’expression ci-dessus montre que β ∈ Φ x si et seulement
si β + α 0 est une somme à coefficients ≥ 0 d’éléments de Δ x ∩ Δ. L’énoncé
analogue vaut pour Φ − , donc on conclut que Δ x est une base du système de
racines Φ x .
(2) Le centre du k-groupe réductif G x est le noyau des racines de Φ x [60,
XIX.1.10]. Comme Δ x est une base de Φ x , il suit que C(G x ) = ker
T
α
−−→
α∈Δ x
G m
. On a f (μ n ) ⊂ C(G x ), d’où G x ⊆ C G
C(G x )
⊆ C G
f (μ n ))
=
G x . Il résulte que G x = C G
C(G x )
.
(3) Le fait que G x,ad = G x /C(G) suit du Lemme 3.1.4.(2). Puisque
Aut(Φ(G, T ), Δ) est isomorphe au quotient Aut(Φ(G, T ))/W [60, XXI.6.7.2],
on dispose d’une suite exacte de k-groupes lisses 1 → G ad → Aut(G)
π
− →
Aut(Φ, Δ) → 1. Il suffit donc de montrer que Aut(G) x (k) s’applique sur
Aut(Φ, Δ) x dans Aut(Φ, Δ).
Soit donc h ∈ Aut(G) x (k). En considérant une nouvelle fois le k-tore maximal
h T de G x , on peut, quitte à conjuguer par un élément de G x (k), supposer que h ∈
Aut(G, T ) x (k). Comme Aut(G, T )/T
∼
−→ Aut(Φ), il suit que h donne lieu à un
élement
w tel que
wx = x dans
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 . Ainsi il existe
w a ∈
T 0 Aut(Φ)
tel que
w a x = x.
On écrit
w a = w a d avec w a ∈
W et d ∈ Aut(Φ, Δ). Il vient
w a x = d
−1 x
Le point est que le groupe Aut(Φ, Δ) stabilise F donc d −1 x ∈ F . Comme F est
un domaine fondamental pour l’action du groupe de Weyl affine
W sur
T 0 ⊗ Z Q,
on obtient que
w a = 1 et x = d −1 x. Or d est l’image de h suivant π, on a bien
π(h) ∈ Aut(Φ, Δ) x .
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
Cas 1 x α 0 > 0. Si β ∈ Φ + , vu que n α ≤ c α et
α∈Δ x α = 1 − x α 0 < 1, on
a
α∈Δ x α
n α
c α
= 0 ∈ Q/Z si et seulement si β est une somme à coefficients
positifs entiers d’éléments de Δ x . De même, un élément de Φ − qui appartient
à Φ x est une somme à coefficients entiers ≤ 0 d’élements de Δ x .
Cas 2 x α 0 = 0. Vu que −α 0 =
α∈Δ c α α, on a
β ◦ f x =
α∈Δ x α
c α
c α
=
1 = 0 ∈ Q/Z donc −α 0 ∈ Φ x . On a donc Δ x ⊂ Φ x . Si β ∈ Φ + , on réécrit
l’expression ci-dessus en
β ◦ f x =
α∈Δ
x α
n α − c α
c α
∈ Q/Z.
Si β ∈ Φ + \ {−β 0 }, l’expression ci-dessus montre que β ∈ Φ x si et seulement
si β + α 0 est une somme à coefficients ≥ 0 d’éléments de Δ x ∩ Δ. L’énoncé
analogue vaut pour Φ − , donc on conclut que Δ x est une base du système de
racines Φ x .
(2) Le centre du k-groupe réductif G x est le noyau des racines de Φ x [60,
XIX.1.10]. Comme Δ x est une base de Φ x , il suit que C(G x ) = ker
T
α
−−→
α∈Δ x
G m
. On a f (μ n ) ⊂ C(G x ), d’où G x ⊆ C G
C(G x )
⊆ C G
f (μ n ))
=
G x . Il résulte que G x = C G
C(G x )
.
(3) Le fait que G x,ad = G x /C(G) suit du Lemme 3.1.4.(2). Puisque
Aut(Φ(G, T ), Δ) est isomorphe au quotient Aut(Φ(G, T ))/W [60, XXI.6.7.2],
on dispose d’une suite exacte de k-groupes lisses 1 → G ad → Aut(G)
π
− →
Aut(Φ, Δ) → 1. Il suffit donc de montrer que Aut(G) x (k) s’applique sur
Aut(Φ, Δ) x dans Aut(Φ, Δ).
Soit donc h ∈ Aut(G) x (k). En considérant une nouvelle fois le k-tore maximal
h T de G x , on peut, quitte à conjuguer par un élément de G x (k), supposer que h ∈
Aut(G, T ) x (k). Comme Aut(G, T )/T
∼
−→ Aut(Φ), il suit que h donne lieu à un
élement
w tel que
wx = x dans
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 . Ainsi il existe
w a ∈
T 0 Aut(Φ)
tel que
w a x = x.
On écrit
w a = w a d avec w a ∈
W et d ∈ Aut(Φ, Δ). Il vient
w a x = d
−1 x
Le point est que le groupe Aut(Φ, Δ) stabilise F donc d −1 x ∈ F . Comme F est
un domaine fondamental pour l’action du groupe de Weyl affine
W sur
T 0 ⊗ Z Q,
on obtient que
w a = 1 et x = d −1 x. Or d est l’image de h suivant π, on a bien
π(h) ∈ Aut(Φ, Δ) x .