3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs centralisateurs
33
Suivant le Théorème 3.1.5, le centralisateur G f de f ( ∞ μ) est un groupe réductif.
Il est donc déployé si k est séparablement clos, donc (1) entraîne (2). Dans la suite,
on note G x le centralisateur de f x pour x ∈ F .
Démonstration Soit T un k-tore maximal déployé de G f . Il existe g ∈ G(k) tel que
T = g T , donc g f = f x pour x ∈ F . Montrons l’unicité. Soient x, y ∈ F tel que
f x et f y sont G(k)-conjugués. Alors il existe g ∈ G(k) tel que f x = g f y . Alors T
et g T sont deux k-tores déployés maximaux de G x , donc ils sont G x (k)-conjugués.
Sans perte de généralité, on peut donc supposer que T = g T . Ainsi g ∈ N G (T ) et
agit sur
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 à travers son image w dans le groupe W . De f x = g f y , il
vient x = wy dans
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 , d’où x ∈
W y dans
T 0 ⊗ Z Q. Comme F est un
domaine fondamental pour l’action de
W sur
T 0 ⊗ Z Q, on conclut que x = y.
On s’intéresse maintenant aux centralisateurs. Soit x ∈ F et considérons les
centralisateurs G x , G ad,x , Aut(G) x de f x : ∞ μ → G respectivement dans G, le
groupe adjoint G ad et le groupe des automorphismes Aut(G).
Proposition 3.1.7 On note Δ x =
α ∈
Δ, | x α = 0
.
(1) G x est le k-sous-groupe de G engendré par T et les U ±α pour α parcourant
Δ x . De plus, Δ x est une base de Φ(G x , T ).
(2) On a C(G x ) = ker
T
α
−−→
α∈Δ x
G m
et G x = C G
C(G x )
.
(3) On a G ad,x = G x /C(G) et une suite exacte
1 → G ad,x → Aut(G) x → Aut(Φ(G, T ), Δ) x → 1
où Aut(Φ(G, T ), Δ) x désigne le centralisateur de x pour l’action de
Aut(Φ(G, T )) sur
T 0 . En outre cette suite admet un scindage à valeurs dans
Aut(G, B, T ).
Démonstration On pose Φ = Φ(G, T ) et considère la décomposition de l’algèbre
de Lie L ie(G) = L ie(T ) ⊕
α∈Φ u α où u α = L ie(U α ).
(1) Le k-sous-groupe G x est déterminé par son algèbre de Lie L ie(G x ) =
L ie(G) f ( ∞ μ) = t ⊕
α∈Φ x
u α où
Φ x =
β ∈ Φ, β ◦ f x = 0
.
Soit β =
α∈Δ n α α ∈ Φ. Alors β ∈ Φ x si et seulement si
β ◦ f x =
α∈Δ
x α θ α ,
α∈Δ
n α α
=
α∈Δ
x α
α ∗
c α
,
α∈Δ
n α α
=
α∈Δ
x α
n α
c α
= 0 ∈ Q/Z.
On distingue deux cas.
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Suivant le Théorème 3.1.5, le centralisateur G f de f ( ∞ μ) est un groupe réductif.
Il est donc déployé si k est séparablement clos, donc (1) entraîne (2). Dans la suite,
on note G x le centralisateur de f x pour x ∈ F .
Démonstration Soit T un k-tore maximal déployé de G f . Il existe g ∈ G(k) tel que
T = g T , donc g f = f x pour x ∈ F . Montrons l’unicité. Soient x, y ∈ F tel que
f x et f y sont G(k)-conjugués. Alors il existe g ∈ G(k) tel que f x = g f y . Alors T
et g T sont deux k-tores déployés maximaux de G x , donc ils sont G x (k)-conjugués.
Sans perte de généralité, on peut donc supposer que T = g T . Ainsi g ∈ N G (T ) et
agit sur
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 à travers son image w dans le groupe W . De f x = g f y , il
vient x = wy dans
T 0 ⊗ Z Q)/
T 0 , d’où x ∈
W y dans
T 0 ⊗ Z Q. Comme F est un
domaine fondamental pour l’action de
W sur
T 0 ⊗ Z Q, on conclut que x = y.
On s’intéresse maintenant aux centralisateurs. Soit x ∈ F et considérons les
centralisateurs G x , G ad,x , Aut(G) x de f x : ∞ μ → G respectivement dans G, le
groupe adjoint G ad et le groupe des automorphismes Aut(G).
Proposition 3.1.7 On note Δ x =
α ∈
Δ, | x α = 0
.
(1) G x est le k-sous-groupe de G engendré par T et les U ±α pour α parcourant
Δ x . De plus, Δ x est une base de Φ(G x , T ).
(2) On a C(G x ) = ker
T
α
−−→
α∈Δ x
G m
et G x = C G
C(G x )
.
(3) On a G ad,x = G x /C(G) et une suite exacte
1 → G ad,x → Aut(G) x → Aut(Φ(G, T ), Δ) x → 1
où Aut(Φ(G, T ), Δ) x désigne le centralisateur de x pour l’action de
Aut(Φ(G, T )) sur
T 0 . En outre cette suite admet un scindage à valeurs dans
Aut(G, B, T ).
Démonstration On pose Φ = Φ(G, T ) et considère la décomposition de l’algèbre
de Lie L ie(G) = L ie(T ) ⊕
α∈Φ u α où u α = L ie(U α ).
(1) Le k-sous-groupe G x est déterminé par son algèbre de Lie L ie(G x ) =
L ie(G) f ( ∞ μ) = t ⊕
α∈Φ x
u α où
Φ x =
β ∈ Φ, β ◦ f x = 0
.
Soit β =
α∈Δ n α α ∈ Φ. Alors β ∈ Φ x si et seulement si
β ◦ f x =
α∈Δ
x α θ α ,
α∈Δ
n α α
=
α∈Δ
x α
α ∗
c α
,
α∈Δ
n α α
=
α∈Δ
x α
n α
c α
= 0 ∈ Q/Z.
On distingue deux cas.