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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
il définit une base Δ du système de racines Φ(G, T ). On note W = N G (T )/T le
groupe de Weyl. Pour chaque α ∈ Φ(G, T ), on dispose des k-sous-groupes U ±α .
On note α 0 l’opposé de la plus grande racine de Φ(G, T ) et
Δ = Δ ∪ {α 0 } le
diagramme de Dynkin complété de k. On a la relation fondamentale
α 0 +
α∈Δ
c α α = 0.
On note (α ∗ ) la base duale de Δ dans
T 0 ⊗ Z Q et on définit le point θ α =
α ∗
c α
∈
T 0 ⊗ Z Q pour chaque α ∈ Δ. On note θ α 0 = 0 ∈
T 0 ⊗ Z Q. On sait que
F =
v =
α∈Δ
v α θ α v α ∈ Q ∩ [0, 1[
est un domaine fondamental pour l’action du groupe de Weyl affine
W =
T 0 W
sur
T 0 ⊗ Z Q. Les coordonnées de Kac sont les coordonnées barycentriques sur
F , c’est-à-dire que tout point x de F s’ecrit de façon unique comme le barycentre
pondéré
x =
α∈
Δ
x α θ α
avec x α ∈ Q ≥0 et
α∈
Δ x α = 1.
Pour l’étude des homomorphismes de groupes μ n → G, il est commode d’introduire le k-groupe affine ∞ μ = lim
←−n≥1
μ n . C’est un k-groupe diagonalisable (non algébrique) de dual Q/Z. On a Hom k−gp ( ∞ μ, G)
∼
−→ lim
−→n
Hom k−gp (μ n , G) si bien
que la connaissance de Hom k−gp ( ∞ μ, G) donne celle de lim
−→n
Hom k−gp (μ n , G)
pour tout n ≥ 1. On considère les isomorphismes
Hom k−gp ( ∞ μ, T )
∼
−→ Hom gp (
T , Q/Z)
∼
−→
T
0
⊗ Z Q)/
T
0
où la première est la dualité de Cartier. Ainsi à chaque élément x =
α∈
Δ x α θ α
avec
α∈
Δ
x α = 1 et x α ≥ 0 pour chaque α, on associe un homomorphisme
f x : ∞ μ → T → G.
Théorème 3.1.6 Soit f : ∞ μ → G un homomorphisme de k-groupes.
(1) Si le centralisateur G f de f ( ∞ μ) est déployé, alors il existe un unique x ∈ F
tel que f est G(k)-conjugué à f x .
(2) Si k est séparablement clos, alors il existe un unique x ∈ F tel que f est G(k)conjugué à f x .
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
il définit une base Δ du système de racines Φ(G, T ). On note W = N G (T )/T le
groupe de Weyl. Pour chaque α ∈ Φ(G, T ), on dispose des k-sous-groupes U ±α .
On note α 0 l’opposé de la plus grande racine de Φ(G, T ) et
Δ = Δ ∪ {α 0 } le
diagramme de Dynkin complété de k. On a la relation fondamentale
α 0 +
α∈Δ
c α α = 0.
On note (α ∗ ) la base duale de Δ dans
T 0 ⊗ Z Q et on définit le point θ α =
α ∗
c α
∈
T 0 ⊗ Z Q pour chaque α ∈ Δ. On note θ α 0 = 0 ∈
T 0 ⊗ Z Q. On sait que
F =
v =
α∈Δ
v α θ α v α ∈ Q ∩ [0, 1[
est un domaine fondamental pour l’action du groupe de Weyl affine
W =
T 0 W
sur
T 0 ⊗ Z Q. Les coordonnées de Kac sont les coordonnées barycentriques sur
F , c’est-à-dire que tout point x de F s’ecrit de façon unique comme le barycentre
pondéré
x =
α∈
Δ
x α θ α
avec x α ∈ Q ≥0 et
α∈
Δ x α = 1.
Pour l’étude des homomorphismes de groupes μ n → G, il est commode d’introduire le k-groupe affine ∞ μ = lim
←−n≥1
μ n . C’est un k-groupe diagonalisable (non algébrique) de dual Q/Z. On a Hom k−gp ( ∞ μ, G)
∼
−→ lim
−→n
Hom k−gp (μ n , G) si bien
que la connaissance de Hom k−gp ( ∞ μ, G) donne celle de lim
−→n
Hom k−gp (μ n , G)
pour tout n ≥ 1. On considère les isomorphismes
Hom k−gp ( ∞ μ, T )
∼
−→ Hom gp (
T , Q/Z)
∼
−→
T
0
⊗ Z Q)/
T
0
où la première est la dualité de Cartier. Ainsi à chaque élément x =
α∈
Δ x α θ α
avec
α∈
Δ
x α = 1 et x α ≥ 0 pour chaque α, on associe un homomorphisme
f x : ∞ μ → T → G.
Théorème 3.1.6 Soit f : ∞ μ → G un homomorphisme de k-groupes.
(1) Si le centralisateur G f de f ( ∞ μ) est déployé, alors il existe un unique x ∈ F
tel que f est G(k)-conjugué à f x .
(2) Si k est séparablement clos, alors il existe un unique x ∈ F tel que f est G(k)conjugué à f x .