3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs centralisateurs
31
(1) L’homomorphisme de k-groupes
N H (T )/T → H /H
0
est surjectif.
(2) Soit π : G → G un quotient central de G. On pose H = C G (μ). Alors π :
H → H est surjectif et induit un morphisme surjectif H /H 0 ∼
−→ H /(H ) 0 .
En particulier si H est connexe, H est connexe.
Démonstration
(1) Les deux k-groupes considérés sont finis étales, il suffit donc de montrer
qu’il est surjectif sur les points dans le cas k est algébriquement clos. Soit
h ∈ H (k). Alors h −1 T h est un k-tore déployé maximal de H 0 , donc il existe
h 0 ∈ H 0 (k) satisfaisant h
−1
0 T h 0 . Ainsi hh
−1
0 ∈ (H ∩N)(k), donc le morphisme
N H (T )(k) → (H /H 0 )(k) est surjectif.
(2) On peut supposer que k est algébriquenent clos. Étant donné g ∈ G (k), il se
relève en g ∈ G(k). Dire que g commute avec μ est la même chose que de dire
que g commute avec μ. Donc g ∈ H (k). Ainsi π est surjectif.
L’énoncé suivant est une généralisation partielle du théorème de connexité de
Springer-Steinberg [166, th. 5.8].
Théorème 3.1.5 Soit n un entier, n ≥ 1. Soient G un k-groupe réductif tel que
DG est semi-simple simplement connexe et f : μ n → G un homomorphisme de
k-groupes. Alors C G (μ n ) est un k-groupe réductif de même rang que G.
Démonstration On peut évidemment supposer que k est algébriquement clos et
que f est un monomorphisme. Pour le cas G semi-simple simplement connexe,
la référence pour la connexité et le rang de H = C G (μ n ) est [146, prop. 6.4].
Second cas f (μ n ) ⊂ DG. Soit S le tore coradical de G. Alors G = DG.S et
C G (μ n ) = C DG (μ n ).S. Il suit que C G (μ n ) est un k-groupe réductif de même rang
que G.
Cas général On considère le tore coradical T := G/DG . On utilise maintenant
le morphisme surjectif de tores S → T . Alors il existe un entier m ≥ 1 tel que
le composé f m : μ mn → μ n
f
− → G → T se relève en un homomorphisme
f :
μ mn → S. Remplacer f par f m
f −1 ne change pas le centralisateur de même que la
multiplication par un homomorphisme central. Ainsi on est ramené au cas précédent
ce qui permet de conclure que C G (μ n ) est un k-groupe réductif de rang maximal.
3.1.2 Coordonnées de Kac
Dans cette sous-section, on considère un k-groupe semi-simple simplement connexe
déployé G que l’on suppose presque simple. Soit (B, T ) un couple de Killing de G;
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(1) L’homomorphisme de k-groupes
N H (T )/T → H /H
0
est surjectif.
(2) Soit π : G → G un quotient central de G. On pose H = C G (μ). Alors π :
H → H est surjectif et induit un morphisme surjectif H /H 0 ∼
−→ H /(H ) 0 .
En particulier si H est connexe, H est connexe.
Démonstration
(1) Les deux k-groupes considérés sont finis étales, il suffit donc de montrer
qu’il est surjectif sur les points dans le cas k est algébriquement clos. Soit
h ∈ H (k). Alors h −1 T h est un k-tore déployé maximal de H 0 , donc il existe
h 0 ∈ H 0 (k) satisfaisant h
−1
0 T h 0 . Ainsi hh
−1
0 ∈ (H ∩N)(k), donc le morphisme
N H (T )(k) → (H /H 0 )(k) est surjectif.
(2) On peut supposer que k est algébriquenent clos. Étant donné g ∈ G (k), il se
relève en g ∈ G(k). Dire que g commute avec μ est la même chose que de dire
que g commute avec μ. Donc g ∈ H (k). Ainsi π est surjectif.
L’énoncé suivant est une généralisation partielle du théorème de connexité de
Springer-Steinberg [166, th. 5.8].
Théorème 3.1.5 Soit n un entier, n ≥ 1. Soient G un k-groupe réductif tel que
DG est semi-simple simplement connexe et f : μ n → G un homomorphisme de
k-groupes. Alors C G (μ n ) est un k-groupe réductif de même rang que G.
Démonstration On peut évidemment supposer que k est algébriquement clos et
que f est un monomorphisme. Pour le cas G semi-simple simplement connexe,
la référence pour la connexité et le rang de H = C G (μ n ) est [146, prop. 6.4].
Second cas f (μ n ) ⊂ DG. Soit S le tore coradical de G. Alors G = DG.S et
C G (μ n ) = C DG (μ n ).S. Il suit que C G (μ n ) est un k-groupe réductif de même rang
que G.
Cas général On considère le tore coradical T := G/DG . On utilise maintenant
le morphisme surjectif de tores S → T . Alors il existe un entier m ≥ 1 tel que
le composé f m : μ mn → μ n
f
− → G → T se relève en un homomorphisme
f :
μ mn → S. Remplacer f par f m
f −1 ne change pas le centralisateur de même que la
multiplication par un homomorphisme central. Ainsi on est ramené au cas précédent
ce qui permet de conclure que C G (μ n ) est un k-groupe réductif de rang maximal.
3.1.2 Coordonnées de Kac
Dans cette sous-section, on considère un k-groupe semi-simple simplement connexe
déployé G que l’on suppose presque simple. Soit (B, T ) un couple de Killing de G;