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3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
En particulier, les groupes de type multiplicatif sont linéairement réductifs [59,
III.6.6.3], donc la proposition vaut dans le cas où M est un k-groupe de type
multiplicatif.
Lemme 3.1.2 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe de type
multiplicatif. On pose H = C G (μ).
(1) Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) il existe un k-tore T de G contenant μ;
(ii) μ ⊆ H 0 ;
(iii) rg(H 0 ) = rg(G).
(2) On suppose que μ est k-plongeable dans un k-sous-groupe de Borel B de G.
Alors il existe un k-tore maximal T de B contenant μ.
Démonstration
(1) (i) ⇒ (ii) : On suppose qu’il existe un k-sous-tore T de G contenant μ. On a
T ⊂ H = C G (μ). Comme T est connexe, on a T ⊂ H 0 , d’où μ ⊂ H 0 .
(ii) ⇒ (iii): On suppose que μ ⊂ H 0 . D’après la Proposition 3.1.1, H 0
est un k-groupe réductif. Comme H commute à μ, on a a fortiori μ ⊂ C(H 0 ).
Soit T un k-tore maximal de H 0 . Comme C(H 0 ) ⊂ T , il suit que μ ⊂ T . Soit
maintenant E un k-tore maximal de G contenant T , alors μ ⊂ E et E ⊂ H 0 =
C H 0 (μ). Ainsi rg(H 0 ) = rg(G).
(iii) ⇒ (i): évident.
(2) On pose L = (B μ ) 0 , c’est un k-groupe lisse et connexe. On note Y la k-variété
des couples de Killing de G et X la k-variété des sous-groupes de Borel de
G [60, XXII.5.8.3]. On dispose d’un morphisme lisse π : Y → X, qui est
μ-équivariant. Comme μ est de type multiplicatif, le morphisme induit π μ :
Y μ → X μ est lisse [53, prop. A.8.2.10.(2)]. Le k-groupe B définit un point
x ∈ X μ (k) et on veut montrer que (π μ ) −1 (x) a un k-point. C’est le cas si k
est séparablement clos ce qui montre en particulier que rg(L) = rg(B). D’après
Grothendieck [60, XIV.1.1], L admet un k-tore maximal, donc T est un k-tore
maximal de B contenant μ.
Comme la condition (1)(ii) est insensible à toute extension de corps, il en est
de même de (1)(i), on dit alors que le k-sous-groupe μ de G est toral. C’est le cas
notamment si μ est un sous-groupe fini de G m .
Proposition 3.1.3 (Serre, cf. [146, prop. 6.2]) Soit n un entier, n ≥ 1. Soit G un
k-groupe réductif et f : μ n → G un monomorphisme de k-groupes. Alors μ n est
toral.
On s’intéresse maintenant aux centralisateurs.
Lemme 3.1.4 Soient G un k-groupe réductif et T un k-tore maximal de G. Soit μ ⊂
T un k-sous-groupe (de type multiplicatif). On note H = C G (μ) et N = N G (T ).
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement
En particulier, les groupes de type multiplicatif sont linéairement réductifs [59,
III.6.6.3], donc la proposition vaut dans le cas où M est un k-groupe de type
multiplicatif.
Lemme 3.1.2 Soient G un k-groupe réductif et μ μ→ G un k-sous-groupe de type
multiplicatif. On pose H = C G (μ).
(1) Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) il existe un k-tore T de G contenant μ;
(ii) μ ⊆ H 0 ;
(iii) rg(H 0 ) = rg(G).
(2) On suppose que μ est k-plongeable dans un k-sous-groupe de Borel B de G.
Alors il existe un k-tore maximal T de B contenant μ.
Démonstration
(1) (i) ⇒ (ii) : On suppose qu’il existe un k-sous-tore T de G contenant μ. On a
T ⊂ H = C G (μ). Comme T est connexe, on a T ⊂ H 0 , d’où μ ⊂ H 0 .
(ii) ⇒ (iii): On suppose que μ ⊂ H 0 . D’après la Proposition 3.1.1, H 0
est un k-groupe réductif. Comme H commute à μ, on a a fortiori μ ⊂ C(H 0 ).
Soit T un k-tore maximal de H 0 . Comme C(H 0 ) ⊂ T , il suit que μ ⊂ T . Soit
maintenant E un k-tore maximal de G contenant T , alors μ ⊂ E et E ⊂ H 0 =
C H 0 (μ). Ainsi rg(H 0 ) = rg(G).
(iii) ⇒ (i): évident.
(2) On pose L = (B μ ) 0 , c’est un k-groupe lisse et connexe. On note Y la k-variété
des couples de Killing de G et X la k-variété des sous-groupes de Borel de
G [60, XXII.5.8.3]. On dispose d’un morphisme lisse π : Y → X, qui est
μ-équivariant. Comme μ est de type multiplicatif, le morphisme induit π μ :
Y μ → X μ est lisse [53, prop. A.8.2.10.(2)]. Le k-groupe B définit un point
x ∈ X μ (k) et on veut montrer que (π μ ) −1 (x) a un k-point. C’est le cas si k
est séparablement clos ce qui montre en particulier que rg(L) = rg(B). D’après
Grothendieck [60, XIV.1.1], L admet un k-tore maximal, donc T est un k-tore
maximal de B contenant μ.
Comme la condition (1)(ii) est insensible à toute extension de corps, il en est
de même de (1)(i), on dit alors que le k-sous-groupe μ de G est toral. C’est le cas
notamment si μ est un sous-groupe fini de G m .
Proposition 3.1.3 (Serre, cf. [146, prop. 6.2]) Soit n un entier, n ≥ 1. Soit G un
k-groupe réductif et f : μ n → G un monomorphisme de k-groupes. Alors μ n est
toral.
On s’intéresse maintenant aux centralisateurs.
Lemme 3.1.4 Soient G un k-groupe réductif et T un k-tore maximal de G. Soit μ ⊂
T un k-sous-groupe (de type multiplicatif). On note H = C G (μ) et N = N G (T ).