Chapitre 3
Sous-groupes des groupes algébriques,
déploiement
On étudie une classe importante de sous-groupes multiplicatifs d’un groupe réductif
à savoir la classe des sous-groupes toraux. Leurs centralisateurs donnent lieu à des
sous-groupes réductifs de rang maximal qui permettent de nombreuses réductions
dans l’étude des tores maximaux et de la cohomologie galoisienne d’un groupe
réductif.
3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et
leurs centralisateurs
3.1.1 Lissité des centralisateurs, sous-groupes toraux
Proposition 3.1.1 Soit M un k-groupe algébrique affine agissant sur un k-groupe
algébrique affine G. On note H le k-sous-groupe de G des points fixes sous M, i.e.
H = G M . On suppose que M est linéairement réductif, (i.e. la catégorie Rep k (M)
des représentations linéaires de dimension finie est semi-simple).
(1) L’espace homogène G/H est un k-schéma affine;
(2) Si G est lisse, alors H est lisse;
(3) Si G est réductif, alors H 0 est réductif;
(4) Si M est un k-sous-groupe fermé de G et agit par automorphismes intérieurs
sur G, alors C G (M) 0 = N G (M) 0 . En outre, si G est réductif, N G (M) 0 est
réductif.
Démonstration Pour (2), voir [59, II.5.2.8] ou [53, A.8.10]. Pour les autres assertions, voir [150, prop. 10.1.5].
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_3
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Sous-groupes des groupes algébriques,
déploiement
On étudie une classe importante de sous-groupes multiplicatifs d’un groupe réductif
à savoir la classe des sous-groupes toraux. Leurs centralisateurs donnent lieu à des
sous-groupes réductifs de rang maximal qui permettent de nombreuses réductions
dans l’étude des tores maximaux et de la cohomologie galoisienne d’un groupe
réductif.
3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et
leurs centralisateurs
3.1.1 Lissité des centralisateurs, sous-groupes toraux
Proposition 3.1.1 Soit M un k-groupe algébrique affine agissant sur un k-groupe
algébrique affine G. On note H le k-sous-groupe de G des points fixes sous M, i.e.
H = G M . On suppose que M est linéairement réductif, (i.e. la catégorie Rep k (M)
des représentations linéaires de dimension finie est semi-simple).
(1) L’espace homogène G/H est un k-schéma affine;
(2) Si G est lisse, alors H est lisse;
(3) Si G est réductif, alors H 0 est réductif;
(4) Si M est un k-sous-groupe fermé de G et agit par automorphismes intérieurs
sur G, alors C G (M) 0 = N G (M) 0 . En outre, si G est réductif, N G (M) 0 est
réductif.
Démonstration Pour (2), voir [59, II.5.2.8] ou [53, A.8.10]. Pour les autres assertions, voir [150, prop. 10.1.5].
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_3
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