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2 Groupes réductifs
Lemme 2.3.3 Soient S 1 , S 2 deux sous-tores de T .
(1) Le k-groupe DG S,T commute à DC G (S).
(2) Si S 1 ⊆ S 2 , on a G S 1 ,T ⊆ G S 2 ,T .
Démonstration On peut supposer que k = k s .
(1) Si α ∈ R et β ∈ Φ(C G (S), T ), on a α, β = 0, donc U α et U β commutent.
Comme DZ G,T est engendré par les U α et DC G (S) par les U β , on conclut que
DG S,T commute à DC G (S).
(2) On note R
1 (resp. R
2 ) les racines de G S 1 ,T (resp. G S 2 ,T ). On a C G (S 2 ) ⊆
C G (S 1 ), d”où Φ(C G (S 2 )) ⊆ Φ(C G (S 1 )) et R
1 ⊆ R
2 . Il vient G S 1 ,T ⊆ G S 2 ,T .
Remarque 2.3.4 Cette construction se généralise de façon convenable au cas d’un
schéma en groupes réductifs.
2.3.3 Intersection de groupes paraboliques
Nous n’avons pas trouvé dans la littérature une référence pour le fait suivant.
Lemme 2.3.5 Soient G un k-groupe algébrique réductif et T un k-tore maximal de
G. Soient P 1 , . . . , P n des k-sous-groupes paraboliques de G contenant T et on note
M i l’unique k-sous-groupe de Levi de P i contenant T pour i = 1, . . . , n. On pose
H =
i=1,...,n
P i et M =
i=1,...,n
M i . Alors H et M sont lisses et connexes et on a
L ie(H ) =
i=1,...,n
L ie(P i ), L ie(M) =
i=1,...,n
L ie(M i ).
Démonstration On peut supposer le corps k algébriquement clos. Notant T i =
rad(M i ) le tore radical de M i , on sait que M i = C G (T i ) pour i = 1, . . . , n. Par
suite, M est le centralisateur dans G du sous-tore S de T engendré par les T i , il est
donc lisse et connexe [60, XIX.1.3]. En outre, L ie(M) = L ie(G) S (ibid, 1.9),
d’où Lie(M) =
i=1,...,n
L ie(M i ).
Pour la lissité de H , on va utiliser un résultat de Borel–Tits en écrivant P i =
G ψ i , c’est-à-dire que P i est le sous-groupe de G associé au sous-système de racines
parabolique ψ i de Φ(G, T ). Comme les ψ i sont clos et convexes, ψ 1 ∩ · · · ∩ ψ r
est clos et convexe de sorte que G ψ 1 ∩···∩ψ n est connexe [22, prop. 3.22.b]. Par une
récurrence immédiate sur le (a) de cette référence, on obtient que H = G ψ 1 ∩···∩ψ n .
Ainsi H est lisse et cette même référence indique que L ie(H ) =
i=1,...,n
L ie(P i ).
2 Groupes réductifs
Lemme 2.3.3 Soient S 1 , S 2 deux sous-tores de T .
(1) Le k-groupe DG S,T commute à DC G (S).
(2) Si S 1 ⊆ S 2 , on a G S 1 ,T ⊆ G S 2 ,T .
Démonstration On peut supposer que k = k s .
(1) Si α ∈ R et β ∈ Φ(C G (S), T ), on a α, β = 0, donc U α et U β commutent.
Comme DZ G,T est engendré par les U α et DC G (S) par les U β , on conclut que
DG S,T commute à DC G (S).
(2) On note R
1 (resp. R
2 ) les racines de G S 1 ,T (resp. G S 2 ,T ). On a C G (S 2 ) ⊆
C G (S 1 ), d”où Φ(C G (S 2 )) ⊆ Φ(C G (S 1 )) et R
1 ⊆ R
2 . Il vient G S 1 ,T ⊆ G S 2 ,T .
Remarque 2.3.4 Cette construction se généralise de façon convenable au cas d’un
schéma en groupes réductifs.
2.3.3 Intersection de groupes paraboliques
Nous n’avons pas trouvé dans la littérature une référence pour le fait suivant.
Lemme 2.3.5 Soient G un k-groupe algébrique réductif et T un k-tore maximal de
G. Soient P 1 , . . . , P n des k-sous-groupes paraboliques de G contenant T et on note
M i l’unique k-sous-groupe de Levi de P i contenant T pour i = 1, . . . , n. On pose
H =
i=1,...,n
P i et M =
i=1,...,n
M i . Alors H et M sont lisses et connexes et on a
L ie(H ) =
i=1,...,n
L ie(P i ), L ie(M) =
i=1,...,n
L ie(M i ).
Démonstration On peut supposer le corps k algébriquement clos. Notant T i =
rad(M i ) le tore radical de M i , on sait que M i = C G (T i ) pour i = 1, . . . , n. Par
suite, M est le centralisateur dans G du sous-tore S de T engendré par les T i , il est
donc lisse et connexe [60, XIX.1.3]. En outre, L ie(M) = L ie(G) S (ibid, 1.9),
d’où Lie(M) =
i=1,...,n
L ie(M i ).
Pour la lissité de H , on va utiliser un résultat de Borel–Tits en écrivant P i =
G ψ i , c’est-à-dire que P i est le sous-groupe de G associé au sous-système de racines
parabolique ψ i de Φ(G, T ). Comme les ψ i sont clos et convexes, ψ 1 ∩ · · · ∩ ψ r
est clos et convexe de sorte que G ψ 1 ∩···∩ψ n est connexe [22, prop. 3.22.b]. Par une
récurrence immédiate sur le (a) de cette référence, on obtient que H = G ψ 1 ∩···∩ψ n .
Ainsi H est lisse et cette même référence indique que L ie(H ) =
i=1,...,n
L ie(P i ).