2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal
25
Si H est un k-sous-groupe réductif de rang maximal de G, alors on peut comparer
les systèmes de racines de G et H en prenant un k-tore maximal T de H . Alors
Φ(H k s , T k s ) est une partie symétrique de Φ(G k s , T k s ).
On dit que H est non exotique si Φ(H k s , T k s ) est une partie close de Φ(G k s , T k s )
et exotique dans le cas contraire. Le cas exotique n’apparaît qu’en caractéristique 2
et 3, voir [146, §2]. Nous reviendrons sur les sous-groupes réductifs maximaux non
exotiques au §3.1.2.
2.3.2 Construction de G S,T
Soient G un k-groupe semi-simple et T un k-tore maximal de G. Nous allons associer à chaque sous-tore S de T un k-sous-groupe réductif G S,T de G contenant T .
Dans ce but, on considère le système de racines R = Φ(G k s , T k s ) dans l’espace
vectoriel V =
T (k s ) ⊗ Z R; V est muni d’un produit scalaire canonique , . On a
une décomposition
L ie(G k s ) = L ie(T k s ) ⊕
α∈R
k s u α
et des sous-groupes radiciels U α de G k s tels que L ie(U α ) = u α pour tout α ∈ R.
Le sous-ensemble des racines Φ(C G (S) k s , T k s ) de Φ(G k s , T k s ) engendre un
sous-espace vectoriel V S de V . On note R = V ⊥
S ∩ R et V le sous-espace vectoriel
de V engendré par R .
D’après [25, VI.1.1, corollaire à la proposition 4], R est un système de racines
dans V . Comme R est une partie close de R, on sait d’après [60, XX.5.4.2,
XX.5.4.7] qu’il existe un unique k-sous-groupe lisse connexe (G S,T ) k s de G k s
contenant T k s et d’algèbre de Lie
L ie(T ) ⊕
α∈R
u α ⊆ L ie(G k s ) .
Comme R est symétrique, (G S,T ) k s est réductif (ibid, XX.5.10.1) et ce groupe est
engendré par T et les sous-groupes radiciels attachés aux racines de R .
L’unicité montre que cette construction se descend à k et donne lieu à un k-sousgroupe réductif G S,T de G. On a donc montré le
Lemme 2.3.2 Il existe un unique k-sous-groupe réductif G S,T de G satisfaisant les
conditions suivantes:
(i) T ⊆ G S,T ;
(ii) Φ
(G S,T ) k s , T k s
=
α ∈ Φ(G k s , T k s ) | |α, β = 0 ∀ β ∈ Φ(C G (S) k s , T k s )
.
25
Si H est un k-sous-groupe réductif de rang maximal de G, alors on peut comparer
les systèmes de racines de G et H en prenant un k-tore maximal T de H . Alors
Φ(H k s , T k s ) est une partie symétrique de Φ(G k s , T k s ).
On dit que H est non exotique si Φ(H k s , T k s ) est une partie close de Φ(G k s , T k s )
et exotique dans le cas contraire. Le cas exotique n’apparaît qu’en caractéristique 2
et 3, voir [146, §2]. Nous reviendrons sur les sous-groupes réductifs maximaux non
exotiques au §3.1.2.
2.3.2 Construction de G S,T
Soient G un k-groupe semi-simple et T un k-tore maximal de G. Nous allons associer à chaque sous-tore S de T un k-sous-groupe réductif G S,T de G contenant T .
Dans ce but, on considère le système de racines R = Φ(G k s , T k s ) dans l’espace
vectoriel V =
T (k s ) ⊗ Z R; V est muni d’un produit scalaire canonique , . On a
une décomposition
L ie(G k s ) = L ie(T k s ) ⊕
α∈R
k s u α
et des sous-groupes radiciels U α de G k s tels que L ie(U α ) = u α pour tout α ∈ R.
Le sous-ensemble des racines Φ(C G (S) k s , T k s ) de Φ(G k s , T k s ) engendre un
sous-espace vectoriel V S de V . On note R = V ⊥
S ∩ R et V le sous-espace vectoriel
de V engendré par R .
D’après [25, VI.1.1, corollaire à la proposition 4], R est un système de racines
dans V . Comme R est une partie close de R, on sait d’après [60, XX.5.4.2,
XX.5.4.7] qu’il existe un unique k-sous-groupe lisse connexe (G S,T ) k s de G k s
contenant T k s et d’algèbre de Lie
L ie(T ) ⊕
α∈R
u α ⊆ L ie(G k s ) .
Comme R est symétrique, (G S,T ) k s est réductif (ibid, XX.5.10.1) et ce groupe est
engendré par T et les sous-groupes radiciels attachés aux racines de R .
L’unicité montre que cette construction se descend à k et donne lieu à un k-sousgroupe réductif G S,T de G. On a donc montré le
Lemme 2.3.2 Il existe un unique k-sous-groupe réductif G S,T de G satisfaisant les
conditions suivantes:
(i) T ⊆ G S,T ;
(ii) Φ
(G S,T ) k s , T k s
=
α ∈ Φ(G k s , T k s ) | |α, β = 0 ∀ β ∈ Φ(C G (S) k s , T k s )
.