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2 Groupes réductifs
Démonstration
(1) C’est une conséquence immédiate de la suite exacte d’ensembles pointés [87,
§IV.4]
1 → C(G)(k) → G(k) → G ad (k)
ϕ G
− − → . . .
H
1
fppf (k, C(G)) → H
1
fppf (k, G) → H
1
fppf (k, G ad )
∂ G
− − → H
2
fppf (k, C(G)).
(2) Le sens direct est évident et n’utilise pas l’hypothèse H 1 (k, G) = 1. Pour la
réciproque, on écrit G = a G où a désigne un 1-cocycle galoisien à valeurs
dans G ad (k s ). Ainsi G = z G q et G = z G q où z
s = z s a s pour tout s ∈ Γ k .
On a en particulier des identifications C(G ) = C(G) = C(G q ). On a vu que
t G = δ G q ([z]) et que t G = δ G q ([z ]). L’hypothèse t G = t G entraîne donc que
δ G q ([z ]) = δ G q ([z]). On utilise de nouveau le diagramme commutatif
H 1 (k, G ad )
∂ G
τz
H 2
fppf (k, C(G))
? − ∂ G ([z])
H 1 (k, G
q
ad )
∂ G q
H 2
fppf (k, C(G q )).
Comme τ z [a] = [z ], il suit que δ G q ([a]) = 1. Le (1) implique que [a] = 1 ∈
H 1 (k, G ad ) ce qui permet de conclure que G est isomorphe à G.
2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal
Soit G un k-groupe réductif.
2.3.1 Sous-groupes maximaux
Un k-sous-groupe algébrique lisse H de G est maximal si H G et si pour tout
k-sous-groupe H de G lisse satisfaisant H ⊆ H ⊆ G, on a H = H ou H = G.
Théorème 2.3.1 Soit H un k-sous-groupe algébrique lisse de G qui est un sousgroupe maximal. Alors H est un k-sous-groupe parabolique ou H 0 est réductif.
En caractéristique nulle, ce résultat est du à Morozov. En caractéristique libre, il
est du à Borel-Tits [23, cor. 3.3].
2 Groupes réductifs
Démonstration
(1) C’est une conséquence immédiate de la suite exacte d’ensembles pointés [87,
§IV.4]
1 → C(G)(k) → G(k) → G ad (k)
ϕ G
− − → . . .
H
1
fppf (k, C(G)) → H
1
fppf (k, G) → H
1
fppf (k, G ad )
∂ G
− − → H
2
fppf (k, C(G)).
(2) Le sens direct est évident et n’utilise pas l’hypothèse H 1 (k, G) = 1. Pour la
réciproque, on écrit G = a G où a désigne un 1-cocycle galoisien à valeurs
dans G ad (k s ). Ainsi G = z G q et G = z G q où z
s = z s a s pour tout s ∈ Γ k .
On a en particulier des identifications C(G ) = C(G) = C(G q ). On a vu que
t G = δ G q ([z]) et que t G = δ G q ([z ]). L’hypothèse t G = t G entraîne donc que
δ G q ([z ]) = δ G q ([z]). On utilise de nouveau le diagramme commutatif
H 1 (k, G ad )
∂ G
τz
H 2
fppf (k, C(G))
? − ∂ G ([z])
H 1 (k, G
q
ad )
∂ G q
H 2
fppf (k, C(G q )).
Comme τ z [a] = [z ], il suit que δ G q ([a]) = 1. Le (1) implique que [a] = 1 ∈
H 1 (k, G ad ) ce qui permet de conclure que G est isomorphe à G.
2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal
Soit G un k-groupe réductif.
2.3.1 Sous-groupes maximaux
Un k-sous-groupe algébrique lisse H de G est maximal si H G et si pour tout
k-sous-groupe H de G lisse satisfaisant H ⊆ H ⊆ G, on a H = H ou H = G.
Théorème 2.3.1 Soit H un k-sous-groupe algébrique lisse de G qui est un sousgroupe maximal. Alors H est un k-sous-groupe parabolique ou H 0 est réductif.
En caractéristique nulle, ce résultat est du à Morozov. En caractéristique libre, il
est du à Borel-Tits [23, cor. 3.3].