2.2 Classification par la cohomologie galoisienne
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Remarque 2.2.3 Il est déroutant à première vue de voir que la classe [z op ] est
unique, mais pas [z].
On considère la suite exacte centrale
1 → C(G) → G → G ad → 1
de k-groupes algébriques pour la topologie plate (§1.4). Elle donne lieu à une suite
exacte d’ensembles pointés
1 → C(G)(k) → G(k) → G ad (k)
ϕ G
− →
H
1
fppf (k, C(G)) → H
1
fppf (k, G) → H
1
fppf (k, G ad )
δ G
− → H
2
fppf (k, C(G)).
L’homomorphisme ϕ G est appelé l’application caractéristique et l’application δ G la
flèche de bord. Puisque G (resp. G ad ) est lisse, la cohomologie plate de G (resp.
G ad ) coïncide avec la cohomologie galoisienne [60, XXIV.8], i.e. on a une bijection
H 1 (k, G)
∼
−→ H 1
fppf (k, G). Suivant [115, 31.6], on définit la classe de Tits de G par
la formule suivante
t G = − δ G
ν G
∈ H
2
fppf (k, C(G)).
Comme G
q
ad agit trivialement sur C(G q ), on a une identification C(G) = C(G q ) et
la bijection de torsion τ z s’insère dans le diagramme commutatif suivant [87, IV.4.2]
H 1 (k, G ad )
τz
δ G H 2
fppf (k, C(G))
? + δ G q ([z])
H 1 (k, G
q
ad )
δ G ad H 2
fppf (k, C(G q ))
Par suite on a t G = δ G q ([z]) ce qui était la définition originale de Tits [176, §1].
En particulier, la classe de Tits est l’unique obstruction à ce que G soit une forme
fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.
Lemme 2.2.4 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe satisfaisant
H 1 (k, G) = 1.
1. Le bord H 1 (k, G ad ) → H 2
fppf (k, C(G)) a un noyau trivial.
2. Soit G une k-forme intérieure de G. Alors G et G sont isomorphes si et
seulement si t G = t G .
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Remarque 2.2.3 Il est déroutant à première vue de voir que la classe [z op ] est
unique, mais pas [z].
On considère la suite exacte centrale
1 → C(G) → G → G ad → 1
de k-groupes algébriques pour la topologie plate (§1.4). Elle donne lieu à une suite
exacte d’ensembles pointés
1 → C(G)(k) → G(k) → G ad (k)
ϕ G
− →
H
1
fppf (k, C(G)) → H
1
fppf (k, G) → H
1
fppf (k, G ad )
δ G
− → H
2
fppf (k, C(G)).
L’homomorphisme ϕ G est appelé l’application caractéristique et l’application δ G la
flèche de bord. Puisque G (resp. G ad ) est lisse, la cohomologie plate de G (resp.
G ad ) coïncide avec la cohomologie galoisienne [60, XXIV.8], i.e. on a une bijection
H 1 (k, G)
∼
−→ H 1
fppf (k, G). Suivant [115, 31.6], on définit la classe de Tits de G par
la formule suivante
t G = − δ G
ν G
∈ H
2
fppf (k, C(G)).
Comme G
q
ad agit trivialement sur C(G q ), on a une identification C(G) = C(G q ) et
la bijection de torsion τ z s’insère dans le diagramme commutatif suivant [87, IV.4.2]
H 1 (k, G ad )
τz
δ G H 2
fppf (k, C(G))
? + δ G q ([z])
H 1 (k, G
q
ad )
δ G ad H 2
fppf (k, C(G q ))
Par suite on a t G = δ G q ([z]) ce qui était la définition originale de Tits [176, §1].
En particulier, la classe de Tits est l’unique obstruction à ce que G soit une forme
fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.
Lemme 2.2.4 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe satisfaisant
H 1 (k, G) = 1.
1. Le bord H 1 (k, G ad ) → H 2
fppf (k, C(G)) a un noyau trivial.
2. Soit G une k-forme intérieure de G. Alors G et G sont isomorphes si et
seulement si t G = t G .