22
2 Groupes réductifs
Si G q est déployé, on dit que G est une forme intérieure; si de plus G est une
forme fortement intérieure de G q , on dit simplement que G est une forme fortement
intérieure.
2.2.3 Cohomologie galoisienne et sous-groupes paraboliques
Soit G un k-groupe réductif et P un k-sous-groupe parabolique. Le théorème
de Borel-Tits énonce que G(k) agit de façon transitive sur (G/P )(k) et que
l’application H 1 (k, P ) → H 1 (k, G) est injective [22, th. 4.13]; de plus l’image
de H 1 (k, P ) dans H 1 (k, G) correspond aux classes [z] ∈ H 1 (k, G) telles que le
groupe tordu z G admette un k-sous-groupe parabolique qui est k s -conjugué à P .
Soit M un k-sous-groupe de Levi de P . Alors P = R u (P ) M et le lemme 1.3.2
indique que l’application H 1 (k, M) → H 1 (k, P ) est bijective. Le complément
suivant est bien connu.
Lemme 2.2.2 On suppose que G est semi-simple simplement connexe.
(1) Le k-groupe DM est semi-simple simplement connexe et corad(M) = M/DM
est un k-tore quasi-trivial. En particulier, l’application H 1 (k, DM) →
H 1 (k, M) est surjective.
(2) L’application H 1 (k, DM) → H 1 (k, M) est surjective. En outre l’image de
H 1 (k, DM) dans H 1 (k, G) consiste en les classes [z] ∈ H 1 (k, G) telles que
le groupe tordu z G admette un k-sous-groupe parabolique qui est k s -conjugué
à P .
Démonstration
(1) Pour la simple connexité de DM, voir [165, Ex. 8.4.6.(5)]. Pour le fait que
corad(M) est quasi-trivial, nous renvoyons à [49, lemma 5.6].
(2) Ainsi on a H 1 (k, corad(M)) = 1 d’où la surjectivité de H 1 (k, DM) →
H 1 (k, M) ∼ = H 1 (k, M).
2.2.4 Classes de Tits
On suppose que G = z G q . Inversement il existe une classe unique ν G = [a] ∈
H 1 (k, G ad ) telle que G q ∼ = a G [115, 31.6]. On note z op ∈ Z 1 (k, z G
q
ad ) le cocycle
opposé à z, il est défini par σ → z −1
σ ∈ z G(k s ). On a G q ∼ = z op
z G q
. Par suite,
l’image de ν G par l’application H 1 (k, G ad )
∼
−→ H 1 (k, z G q
ad ) est [z op ].
2 Groupes réductifs
Si G q est déployé, on dit que G est une forme intérieure; si de plus G est une
forme fortement intérieure de G q , on dit simplement que G est une forme fortement
intérieure.
2.2.3 Cohomologie galoisienne et sous-groupes paraboliques
Soit G un k-groupe réductif et P un k-sous-groupe parabolique. Le théorème
de Borel-Tits énonce que G(k) agit de façon transitive sur (G/P )(k) et que
l’application H 1 (k, P ) → H 1 (k, G) est injective [22, th. 4.13]; de plus l’image
de H 1 (k, P ) dans H 1 (k, G) correspond aux classes [z] ∈ H 1 (k, G) telles que le
groupe tordu z G admette un k-sous-groupe parabolique qui est k s -conjugué à P .
Soit M un k-sous-groupe de Levi de P . Alors P = R u (P ) M et le lemme 1.3.2
indique que l’application H 1 (k, M) → H 1 (k, P ) est bijective. Le complément
suivant est bien connu.
Lemme 2.2.2 On suppose que G est semi-simple simplement connexe.
(1) Le k-groupe DM est semi-simple simplement connexe et corad(M) = M/DM
est un k-tore quasi-trivial. En particulier, l’application H 1 (k, DM) →
H 1 (k, M) est surjective.
(2) L’application H 1 (k, DM) → H 1 (k, M) est surjective. En outre l’image de
H 1 (k, DM) dans H 1 (k, G) consiste en les classes [z] ∈ H 1 (k, G) telles que
le groupe tordu z G admette un k-sous-groupe parabolique qui est k s -conjugué
à P .
Démonstration
(1) Pour la simple connexité de DM, voir [165, Ex. 8.4.6.(5)]. Pour le fait que
corad(M) est quasi-trivial, nous renvoyons à [49, lemma 5.6].
(2) Ainsi on a H 1 (k, corad(M)) = 1 d’où la surjectivité de H 1 (k, DM) →
H 1 (k, M) ∼ = H 1 (k, M).
2.2.4 Classes de Tits
On suppose que G = z G q . Inversement il existe une classe unique ν G = [a] ∈
H 1 (k, G ad ) telle que G q ∼ = a G [115, 31.6]. On note z op ∈ Z 1 (k, z G
q
ad ) le cocycle
opposé à z, il est défini par σ → z −1
σ ∈ z G(k s ). On a G q ∼ = z op
z G q
. Par suite,
l’image de ν G par l’application H 1 (k, G ad )
∼
−→ H 1 (k, z G q
ad ) est [z op ].