2.2 Classification par la cohomologie galoisienne
21
Ce diagramme est noté 1 D
(1)
n,1 par Tits [175]. Les tables sont reproduites en
appendice.
2.2 Classification par la cohomologie galoisienne
2.2.1 L’invariant ∗
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Il existe un unique k-groupe
semi-simple déployé G d tel que G d
k s
∼
−→ G k s . Soit (B d , T d ) un couple de Killing
pour G d et notons Δ le diagramme de Dynkin associé. On a une suite exacte
(scindée) de k-groupes 1 → G d
ad → Aut(G d )
π
− → Aut(Δ) → 1 où Aut(Δ) est un
groupe fini [60, XXIV.3.10]. Le yoga des k-formes montre que l’ensemble pointé
H 1 (k, Aut(G d )) classifie les k-formes de G. On dispose donc d’une application
π ∗ : H
1 (k, Aut(G
d )) → H
1 (k, Aut(Δ)) = Hom ct (Γ k , Aut(Δ))/Aut(Δ).
La classe π ∗ [G] ∈ H 1 (k, Aut(Δ)) est appelée l’invariant ∗ de G.
Exemple 2.2.1 Si Δ est connexe, on a Aut(Δ) = 1, Z/2Z ou S 3 , ce dernier cas
étant exclusif au type D 4 . Si Aut(Δ) = Z/2Z (resp. S 3 ), l’invariant ∗ est la donnée
d’une classe d’isomorphie d’une k-algèbre étale quadratique (resp. cubique).
L’ensemble pointé H 1 (k, Aut(G d )) contient l’ensemble des classes d’isomorphie H 1
qd (k, Aut(G d )) des k-formes quasi-déployées de G. Suivant [60,
XXIV.3.11], cette application induit une bijection H 1
qd (k, Aut(G d ))
∼
−→
H 1 (k, Aut(Δ)). En particulier, une k-forme quasi-déployée de G d est déterminée,
à isomorphisme près, par son invariant ∗.
2.2.2 Formes intérieures et fortement intérieures
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Il existe un unique k-groupe
semi-simple déployé G d tel que G
d
k s
∼
−→ G k s . Il existe un k-groupe semi-simple
quasi-déployé G q tel que G est une k-forme intérieure de G q , cela signifie qu’il
existe un 1-cocycle z ∈ Z 1 (Γ k , (G q /C(G q ))(k s )) tel que G ∼ = z G
q . Le k-groupe
G q est unique à isomorphisme (non unique) près; de façon plus précise, G et G q
ont même invariant ∗.
Si [z] appartient à l’image de H 1 (k, G q ) → H 1
k, (G q /C(G q )
, on dit que G
est une forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.
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Ce diagramme est noté 1 D
(1)
n,1 par Tits [175]. Les tables sont reproduites en
appendice.
2.2 Classification par la cohomologie galoisienne
2.2.1 L’invariant ∗
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Il existe un unique k-groupe
semi-simple déployé G d tel que G d
k s
∼
−→ G k s . Soit (B d , T d ) un couple de Killing
pour G d et notons Δ le diagramme de Dynkin associé. On a une suite exacte
(scindée) de k-groupes 1 → G d
ad → Aut(G d )
π
− → Aut(Δ) → 1 où Aut(Δ) est un
groupe fini [60, XXIV.3.10]. Le yoga des k-formes montre que l’ensemble pointé
H 1 (k, Aut(G d )) classifie les k-formes de G. On dispose donc d’une application
π ∗ : H
1 (k, Aut(G
d )) → H
1 (k, Aut(Δ)) = Hom ct (Γ k , Aut(Δ))/Aut(Δ).
La classe π ∗ [G] ∈ H 1 (k, Aut(Δ)) est appelée l’invariant ∗ de G.
Exemple 2.2.1 Si Δ est connexe, on a Aut(Δ) = 1, Z/2Z ou S 3 , ce dernier cas
étant exclusif au type D 4 . Si Aut(Δ) = Z/2Z (resp. S 3 ), l’invariant ∗ est la donnée
d’une classe d’isomorphie d’une k-algèbre étale quadratique (resp. cubique).
L’ensemble pointé H 1 (k, Aut(G d )) contient l’ensemble des classes d’isomorphie H 1
qd (k, Aut(G d )) des k-formes quasi-déployées de G. Suivant [60,
XXIV.3.11], cette application induit une bijection H 1
qd (k, Aut(G d ))
∼
−→
H 1 (k, Aut(Δ)). En particulier, une k-forme quasi-déployée de G d est déterminée,
à isomorphisme près, par son invariant ∗.
2.2.2 Formes intérieures et fortement intérieures
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Il existe un unique k-groupe
semi-simple déployé G d tel que G
d
k s
∼
−→ G k s . Il existe un k-groupe semi-simple
quasi-déployé G q tel que G est une k-forme intérieure de G q , cela signifie qu’il
existe un 1-cocycle z ∈ Z 1 (Γ k , (G q /C(G q ))(k s )) tel que G ∼ = z G
q . Le k-groupe
G q est unique à isomorphisme (non unique) près; de façon plus précise, G et G q
ont même invariant ∗.
Si [z] appartient à l’image de H 1 (k, G q ) → H 1
k, (G q /C(G q )
, on dit que G
est une forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée.