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2 Groupes réductifs
2.1.4 Sous-groupes de Borel, couples de Killing
Définition 2.1.4 Soit G un k-groupe affine lisse et connexe.
(1) Un k-sous-groupe B de G est de Borel si B k est lisse, résoluble et connexe et
est maximal pour ces propriétés dans G k .
(2) Un couple de Killing est une paire (B, T ) où B est un k-sous-groupe de Borel
de G et T un k-tore maximal de B (et donc de G).
Si B est un sous-groupe de Borel de G, alors B est un sous-groupe parabolique
de G et c’est même un k-sous-groupe parabolique minimal de G [19, §11.2].
Si G est réductif, on dit que G est déployé (resp. quasi-déployé) si G admet un
k-tore maximal qui est déployé (resp. un k-sous-groupe de Borel). Si G est déployé,
alors chaque k-tore maximal déployé de G se complète en un couple de Killing
(ibid, th. 18.7). Ainsi déployé entraîne quasi-déployé.
2.1.5 Systèmes de racines relatifs
D’après Borel-Tits [22], les k-tores déployés maximaux de G sont G(k)-conjugués.
Soit S ⊂ G un k-tore déployé maximal, son rang est appelé le k-rang de G. Si S est
non trivial (resp. trivial), on dit que G est isotrope (resp. anisotrope). Si S est non
central (resp. central) dans G, on dit que G est réductible (resp. irréductible).
Dire que S est réductible est équivalent au fait que l’ensemble des racines
Φ(G, S) de S pour la représentation adjointe de G est non vide. Dans ce cas,
Φ(G, S) est un système de racines appelé le système de racines relatif de G par
rapport à S. Le k-groupe C G (S) est un sous-groupe de Levi d’un k-parabolique
minimal P de G et le couple (P , C G (S)) est unique à G(k)-conjugaison près. Le kgroupe DC G (S) est semi-simple, anisotrope et est appelé le noyau anisotrope de G.
Son type s’identifie graphiquement de la façon suivante. On plonge S dans un
k-tore maximal T . Comme T k s est déployé, on dispose du système de racines absolu
Φ(G k s , T k s ) et on note Δ le diagramme de Dynkin correspondant.
Alors P k s est un k s -parabolique de G k s et sa classe de conjugaison est encodée
par une partie I de Δ (avec la convention croissante, i.e. G Δ = G) dont le
complémentaire Δ \ I est indiqué graphiquement par . L’ensemble I est alors
le diagramme de Dynkin absolu du k-groupe semi-simple DC G (S).
Exemple 2.1.5 Soit q une forme quadratique régulière de dimension 2n ≥ 4 et
d’indice de Witt r = 1. Alors le k-groupe G = SO(q) est semi-simple de k-rang 1.
Son diagramme de Dynkin absolu est D n et son noyau anisotrope est de type D n−1
et est illustré de la façon suivante:
. . .
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2 Groupes réductifs
2.1.4 Sous-groupes de Borel, couples de Killing
Définition 2.1.4 Soit G un k-groupe affine lisse et connexe.
(1) Un k-sous-groupe B de G est de Borel si B k est lisse, résoluble et connexe et
est maximal pour ces propriétés dans G k .
(2) Un couple de Killing est une paire (B, T ) où B est un k-sous-groupe de Borel
de G et T un k-tore maximal de B (et donc de G).
Si B est un sous-groupe de Borel de G, alors B est un sous-groupe parabolique
de G et c’est même un k-sous-groupe parabolique minimal de G [19, §11.2].
Si G est réductif, on dit que G est déployé (resp. quasi-déployé) si G admet un
k-tore maximal qui est déployé (resp. un k-sous-groupe de Borel). Si G est déployé,
alors chaque k-tore maximal déployé de G se complète en un couple de Killing
(ibid, th. 18.7). Ainsi déployé entraîne quasi-déployé.
2.1.5 Systèmes de racines relatifs
D’après Borel-Tits [22], les k-tores déployés maximaux de G sont G(k)-conjugués.
Soit S ⊂ G un k-tore déployé maximal, son rang est appelé le k-rang de G. Si S est
non trivial (resp. trivial), on dit que G est isotrope (resp. anisotrope). Si S est non
central (resp. central) dans G, on dit que G est réductible (resp. irréductible).
Dire que S est réductible est équivalent au fait que l’ensemble des racines
Φ(G, S) de S pour la représentation adjointe de G est non vide. Dans ce cas,
Φ(G, S) est un système de racines appelé le système de racines relatif de G par
rapport à S. Le k-groupe C G (S) est un sous-groupe de Levi d’un k-parabolique
minimal P de G et le couple (P , C G (S)) est unique à G(k)-conjugaison près. Le kgroupe DC G (S) est semi-simple, anisotrope et est appelé le noyau anisotrope de G.
Son type s’identifie graphiquement de la façon suivante. On plonge S dans un
k-tore maximal T . Comme T k s est déployé, on dispose du système de racines absolu
Φ(G k s , T k s ) et on note Δ le diagramme de Dynkin correspondant.
Alors P k s est un k s -parabolique de G k s et sa classe de conjugaison est encodée
par une partie I de Δ (avec la convention croissante, i.e. G Δ = G) dont le
complémentaire Δ \ I est indiqué graphiquement par . L’ensemble I est alors
le diagramme de Dynkin absolu du k-groupe semi-simple DC G (S).
Exemple 2.1.5 Soit q une forme quadratique régulière de dimension 2n ≥ 4 et
d’indice de Witt r = 1. Alors le k-groupe G = SO(q) est semi-simple de k-rang 1.
Son diagramme de Dynkin absolu est D n et son noyau anisotrope est de type D n−1
et est illustré de la façon suivante:
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