2.1 Définitions
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Démonstration On dispose d’un complexe 1 → corad(G 1 ) → corad(G 2 ) →
corad(G 3 ) → 1. La surjectivité de corad(G 2 ) → corad(G 3 ) est évidente. D’après
[153, 6.1.1], on a une suite exacte
0 →
corad(G 3 )(k) →
corad(G 2 )(k) →
corad(G 1 )(k) → Pic(G 3,k ).
Comme Pic(G 3,k ) est fini [153, lem. 6.9.(i)], il suit que ν(k) est fini, donc ν
est un k-groupe fini de type multiplicatif. La suite de modules galoisiens 0 →
corad(G 3 ) →
corad(G 2 ) → ker
corad(G 1 ) → ν
→ 0 est exacte d’où celle
de 1 → corad(G 1 )/ν → corad(G 2 ) → corad(G 3 ) → 1 par dualité de Cartier.
2.1.3 Sous-groupes paraboliques
Définition 2.1.2 Soit G un k-groupe affine lisse et connexe. Un k-sous-groupe P
de G est parabolique s’il est lisse et connexe et si la variété quotient G/P est propre.
Si G est réductif, cela correspond à la définition usuelle. De plus, cette définition
est insensible à toute extension de corps.
Lemme 2.1.3 Soient G un k-groupe affine lisse et connexe muni d’un k-sousgroupe unipotent lisse U , connexe et distingué de G. On note π : G → G/U
le quotient. Alors tout k-sous-groupe parabolique de G contient U et il y a une
correspondance naturelle
k-sous-groupes paraboliques de G/U
← →
k-sous-groupes paraboliques de G
.
Elle applique un sous-groupe parabolique Q de G/U sur π −1 (Q) et inversement
un k-sous-groupe parabolique P de G sur P /U.
Démonstration Pour la première étape, il est loisible de supposer k algébriquement
clos. Alors U est déployé, c’est-à-dire extension successive de G a [59, IV.4.3.4] Soit
P un k-sous-groupe parabolique de G. On considère l’action de U sur la variété
propre G/P . Le théorème de point fixe de Rosenlicht implique qu’il existe un kpoint fixe pour cette action [59, IV.4.3.2]. Ainsi il existe g ∈ G(k) tel que [gP ]
est fixe par U . De façon équivalente g U fixe [P ] mais comme U est distingué dans
G, on a que g U = U fixe [P ], d’où U ⊂ P . Comme G/P = (G/U )/(P /U ), il
suit que P /U est un k-sous-groupe parabolique de G/U et la correspondance est
immédiate.
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Démonstration On dispose d’un complexe 1 → corad(G 1 ) → corad(G 2 ) →
corad(G 3 ) → 1. La surjectivité de corad(G 2 ) → corad(G 3 ) est évidente. D’après
[153, 6.1.1], on a une suite exacte
0 →
corad(G 3 )(k) →
corad(G 2 )(k) →
corad(G 1 )(k) → Pic(G 3,k ).
Comme Pic(G 3,k ) est fini [153, lem. 6.9.(i)], il suit que ν(k) est fini, donc ν
est un k-groupe fini de type multiplicatif. La suite de modules galoisiens 0 →
corad(G 3 ) →
corad(G 2 ) → ker
corad(G 1 ) → ν
→ 0 est exacte d’où celle
de 1 → corad(G 1 )/ν → corad(G 2 ) → corad(G 3 ) → 1 par dualité de Cartier.
2.1.3 Sous-groupes paraboliques
Définition 2.1.2 Soit G un k-groupe affine lisse et connexe. Un k-sous-groupe P
de G est parabolique s’il est lisse et connexe et si la variété quotient G/P est propre.
Si G est réductif, cela correspond à la définition usuelle. De plus, cette définition
est insensible à toute extension de corps.
Lemme 2.1.3 Soient G un k-groupe affine lisse et connexe muni d’un k-sousgroupe unipotent lisse U , connexe et distingué de G. On note π : G → G/U
le quotient. Alors tout k-sous-groupe parabolique de G contient U et il y a une
correspondance naturelle
k-sous-groupes paraboliques de G/U
← →
k-sous-groupes paraboliques de G
.
Elle applique un sous-groupe parabolique Q de G/U sur π −1 (Q) et inversement
un k-sous-groupe parabolique P de G sur P /U.
Démonstration Pour la première étape, il est loisible de supposer k algébriquement
clos. Alors U est déployé, c’est-à-dire extension successive de G a [59, IV.4.3.4] Soit
P un k-sous-groupe parabolique de G. On considère l’action de U sur la variété
propre G/P . Le théorème de point fixe de Rosenlicht implique qu’il existe un kpoint fixe pour cette action [59, IV.4.3.2]. Ainsi il existe g ∈ G(k) tel que [gP ]
est fixe par U . De façon équivalente g U fixe [P ] mais comme U est distingué dans
G, on a que g U = U fixe [P ], d’où U ⊂ P . Comme G/P = (G/U )/(P /U ), il
suit que P /U est un k-sous-groupe parabolique de G/U et la correspondance est
immédiate.