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2 Groupes réductifs
Le k-groupe G admet un plus grand k-sous-groupe connexe lisse résoluble
(resp. unipotent) distingué, il est noté R k (G) (resp. R u,k (G)) [53, A.1.15]; il faut
prendre garde que ces constructions ne commutent pas aux extensions de corps
(elles commutent cependant dans le cas d’une extension séparable). Un k-groupe
affine lisse et connexe est réductif (resp. semi-simple) si R u,k (G k ) = 1 (resp.
R k (G k ) = 1). Etant donné une suite exacte de k-groupes affines lisses et connexes
1 → G 1 → G 2 → G 3 → 1, G 2 est réductif (resp. semi-simple) si et seulement si
G 1 et G 3 sont réductifs (resp. semi-simples).
Le k-groupe semi-simple G est presque simple si G n’admet pas de k-sousgroupe algébrique connexe lisse distingué non trivial; G est absolument presque
simple si G k est presque simple.
Soit G un groupe réductif. On sait que G ab est un k-tore algébrique noté
corad(G); il est appelé le tore coradical de G [60, XXII.4.3]. Le lemme de
Rosenlicht indique que
(
corad(G))(k) = Hom k−gp (G k , G m,k ) = ker
k[G]
×
1 ∗
G
− → k
×
.
Le radical R k (G) est un k-tore et sa construction commmute aux extensions de
corps; il est appelé le tore radical de G et est noté rad(G). Le quotient G/R k (G) est
semi-simple, il est noté G ss et est appelé le semi-simplifié de G. On a un diagramme
commutatif exact
1
1
1
μ
D G
G ss
∼ =
1
1
rad(G)
G
G ss
1
corad(G)
∼
corad(G)
1
1
où μ est un k-groupe de type multiplicatif fini. En particulier, rad(G) → corad(G)
et DG → G ss sont des isogénies et DG est semi-simple.
Lemme 2.1.1 Soit 1 → G 1 → G 2 → G 3 → 1 une suite exacte de k-groupes
réductifs. On note ν le noyau de corad(G 1 ) → corad(G 2 ). Alors ν est un k-groupe
fini de type multiplicatif et la suite
1 → corad(G 1 )/ν → corad(G 2 ) → corad(G 3 ) → 1
est exacte.
2 Groupes réductifs
Le k-groupe G admet un plus grand k-sous-groupe connexe lisse résoluble
(resp. unipotent) distingué, il est noté R k (G) (resp. R u,k (G)) [53, A.1.15]; il faut
prendre garde que ces constructions ne commutent pas aux extensions de corps
(elles commutent cependant dans le cas d’une extension séparable). Un k-groupe
affine lisse et connexe est réductif (resp. semi-simple) si R u,k (G k ) = 1 (resp.
R k (G k ) = 1). Etant donné une suite exacte de k-groupes affines lisses et connexes
1 → G 1 → G 2 → G 3 → 1, G 2 est réductif (resp. semi-simple) si et seulement si
G 1 et G 3 sont réductifs (resp. semi-simples).
Le k-groupe semi-simple G est presque simple si G n’admet pas de k-sousgroupe algébrique connexe lisse distingué non trivial; G est absolument presque
simple si G k est presque simple.
Soit G un groupe réductif. On sait que G ab est un k-tore algébrique noté
corad(G); il est appelé le tore coradical de G [60, XXII.4.3]. Le lemme de
Rosenlicht indique que
(
corad(G))(k) = Hom k−gp (G k , G m,k ) = ker
k[G]
×
1 ∗
G
− → k
×
.
Le radical R k (G) est un k-tore et sa construction commmute aux extensions de
corps; il est appelé le tore radical de G et est noté rad(G). Le quotient G/R k (G) est
semi-simple, il est noté G ss et est appelé le semi-simplifié de G. On a un diagramme
commutatif exact
1
1
1
μ
D G
G ss
∼ =
1
1
rad(G)
G
G ss
1
corad(G)
∼
corad(G)
1
1
où μ est un k-groupe de type multiplicatif fini. En particulier, rad(G) → corad(G)
et DG → G ss sont des isogénies et DG est semi-simple.
Lemme 2.1.1 Soit 1 → G 1 → G 2 → G 3 → 1 une suite exacte de k-groupes
réductifs. On note ν le noyau de corad(G 1 ) → corad(G 2 ). Alors ν est un k-groupe
fini de type multiplicatif et la suite
1 → corad(G 1 )/ν → corad(G 2 ) → corad(G 3 ) → 1
est exacte.