Chapitre 2
Groupes réductifs
Nous rappellons tout d’abord les notions de la base de la théorie des groupes
réductifs que l’on trouve dans les livres de Borel [19], Springer [165], MalleTesterman [125] ainsi que leur cohomologie galoisienne.
2.1 Définitions
2.1.1 Groupes unipotents et résolubles
Un k-groupe algébrique affine G est résoluble s’il possède une suite de composition
à quotients commutatifs. Cette propriété est stable par sous-groupe, quotient et
extension, en outre, elle est insensible à toute extension de corps [59, IV.2.7].
Le k-groupe algébrique affine G est unipotent si G k admet une suite de
composition dont les quotients successifs sont des sous-groupes algébriques de
G a,k . Un k-groupe unipotent est résoluble, cette propriété est insensible à toute
extension de corps [60, XVII.2.2] et elle est stable par sous-groupe, quotient et
extension.
2.1.2 Radicaux
Soit G un k-groupe algébrique affine lisse et connexe. On rappelle qu’il admet le
k-sous-groupe dérivé DG qui est lisse connexe et qui est caractérisé par le fait que
DG(F ) = [G(F ), G(F )] pour tout k-corps F algébriquement clos [59, II.5.4.8].
Le quotient G ab = G/DG est appelé l’abélianisé de G.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_2
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Groupes réductifs
Nous rappellons tout d’abord les notions de la base de la théorie des groupes
réductifs que l’on trouve dans les livres de Borel [19], Springer [165], MalleTesterman [125] ainsi que leur cohomologie galoisienne.
2.1 Définitions
2.1.1 Groupes unipotents et résolubles
Un k-groupe algébrique affine G est résoluble s’il possède une suite de composition
à quotients commutatifs. Cette propriété est stable par sous-groupe, quotient et
extension, en outre, elle est insensible à toute extension de corps [59, IV.2.7].
Le k-groupe algébrique affine G est unipotent si G k admet une suite de
composition dont les quotients successifs sont des sous-groupes algébriques de
G a,k . Un k-groupe unipotent est résoluble, cette propriété est insensible à toute
extension de corps [60, XVII.2.2] et elle est stable par sous-groupe, quotient et
extension.
2.1.2 Radicaux
Soit G un k-groupe algébrique affine lisse et connexe. On rappelle qu’il admet le
k-sous-groupe dérivé DG qui est lisse connexe et qui est caractérisé par le fait que
DG(F ) = [G(F ), G(F )] pour tout k-corps F algébriquement clos [59, II.5.4.8].
Le quotient G ab = G/DG est appelé l’abélianisé de G.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_2
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