1.6 R-équivalence
15
(2) On suppose que le tore M est déployé par une extension cyclique k /k de
degré p premier. On peut supposer que les tores de la résolution flasque
1 → M → S → E → 1 sont aussi déployés par k /k. Ainsi le k-tore
quasi-trivial E est un produit de G m et de R k /k (G m ). Comme les facteurs
R k /k (G m ) se relèvent à S, on peut supposer que E est un k-tore déployé.
Comme on vient de le voir, il suit que l’image de l’application caractéristique
ϕ : E(k) → H 1
fppf (k, M) est incluse dans R 1 H 1
fppf (k, M). Par ailleurs,
l’hypothèse entraîne que ϕ est surjective (Prop. 1.6.2.(2)), ce qui permet de
conclure que R 1 H 1
fppf (k, M) = H 1
fppf (k, M).
1.6.3 Un exemple
Soient L/k une extension quadradrique étale et K une k-algèbre étale de degré
n ≥ 1. On considère le k-tore
T = ker
R L/k
R
1
K⊗ k L/L (G m )
N L/k
− −− → R
1
K/k (G m )
qui est isomorphe au conoyau de R 1
K/k (G m ) → R L/k
R 1
K⊗ k L/L (G m )
. On
considère le diagramme commutatif
1
R 1
K/k (G m )
R L/k R 1
K⊗ k L/L (G m )
T
1
1
μ 2
R L/k (μ 2 )
μ 2
1;
il définit un plongement i : μ 2 T .
Lemme 1.6.6 On suppose que K ⊗ k L ∼ = K ×K. Alors i ∗ : k × /(k × ) 2 → H 1 (k, T )
est surjectif. En particulier, on a R 1 H 1 (k, T ) = H 1 (k, T ).
Démonstration On considère la suite de cohomologie
H 1 k, R L/k R 1
K⊗ k L/L (G m )
H 1 (k, T )
H 2 (k, R 1
K/k (G m ))
H 2 k, R L/k R 1
K⊗ k L/L (G m ) .
Le premier s’identifie à L × /N L⊗K/L ((K ⊗ k L) × ), le troisième à coker
Br(K) →
Br(k)
et le quatrième à coker
Br(K ⊗ k L) → Br(L)
. L’hypothèse implique que
la restriction Br(K) → Br(K ⊗ k L) est injective. Par une chasse au diagramme
il vient que L × /N L⊗K/L ((K ⊗ L) × ) → H 1 (k, T ) est surjective. Le diagramme